Рационал нүктелер және алгебралық геометрия

Кіріспе

Алгебралық геометрияда рационалды координаталары бар нүкте. Сандар теориясы мен алгебралық геометрияда алгебралық түрдің рационалды нүктесі – координаттары белгілі бір өріске жататын нүкте. Егер өріс көрсетілмесе, рационал сандар өрісі түсініледі. Егер өріс нақты сандар өрісі болса, рационалды нүкте көбінесе нақты нүкте деп аталады. Рационалды нүктелерді түсіну – сандар теориясы мен Диофантикалық геометрияның маңызды мақсаты. Мысалы, Ферманың соңғы теоремасын былай қоюға болады: n > 2 үшін, теңдеуінің Ферма қисығында (1, 0), (0, 1) және егер n жұп болса, (-1, 0) және (0, -1) нүктелерінен басқа рационалды нүктелер жоқ.

Иілгіш сызықтардағы рационалды нүктелер

Сандар теориясының көп бөлігі алгебралық сан түрлерінің рационалдық нүктелерін зерттеу ретінде қарастырылуы мүмкін, ал ыңғайлы орта – тегіс проективті сан түрлері. Тегіс проективті қисықтар үшін рационалдық нүктелердің қалай өзгеретіні қисықтың туындысына күшті байланысты.

0 туысы

K өрісі бойынша нөлдік геннің кез келген тегіс проекциялық қисығы X, \mathbb P^2 ішіндегі коникамен (2-дәрежелі қисықпен) изоморфты. Егер X-тың k рационалды нүктесі болса, онда ол k бойынша \mathbb P^1-ге изоморфты болады, сондықтан оның k рационалды нүктелері толыққанды түсінілген. Егер k – рационалды сандардың \Q өрісі (немесе жалпырақ, сан өрісі) болса, онда берілген кониканың рационалды нүктесінің бар-жоқтығын анықтау үшін Хассе принципіне негізделген алгоритм бар: \Q үстіндегі кониканың рационалды нүктесі бар, егер және тек егер ол \Q-ның барлық толықталуларында нүктелерге ие болса, яғни \R және барлық p-адық өрістерде \Q_p.

1 тұқым

1-жынысты қисықтың рационалды нүктесі бар-жоғын анықтау қиынырақ. Бұл жағдайда Хассе принципі орындалмайды: мысалы, Эрнст Селмердің \mathbb P^2 -дегі кубикалық қисығы \Q-ның барлық толықталуларында нүктеге ие, бірақ рационалды нүктесі жоқ. 1-жынысты қисықтар үшін Хассе принципінің орындалмауы Тате-Шафаревич тобымен өлшенеді. Егер X - k рационалды нүктесі бар 1-тұқымдық қисық болса, онда X - k үстіндегі эллипстік қисық деп аталады. Бұл жағдайда X коммутативті алгебралық топтың құрылымына ие (нөл элементі ретінде), сондықтан X(k) жиыны k рационалды нүктелерінің абельдік топ болып табылады. Морделл-Вейл теоремасы бойынша, эллипстік қисық (немесе, жалпы алғанда, абельдік сорт) X сандық өріс k бойынша, абельдік топ X(k) шекті түрде туындайды. Компьютерлік алгебра бағдарламалары көптеген мысалдарда Морделл-Вейл тобы X(k)-ны анықтай алады, бірақ бұл топты әрқашан есептеуде табысқа жететін алгоритм бар ма, жоқ па, белгісіз. Бұл Тате-Шафаревич тобы шекті деген болжамнан немесе байланысты Birch-Swinnerton Dyer болжамынан туындайды.

Кем дегенде 2 туысы

Фалтингс теоремасы (бұрынғы Морделл болжамы) кез келген k санылық денедегі кемінде 2 туындысы бар X қисығы үшін, X(k) жиыны шекті екенін айтады. Сандар теориясының маңызды жетістіктерінің бірі – нақты қисықтардағы рационалдық нүктелерді анықтау. Мысалы, Ферманың соңғы теоремасы (Ричард Тейлор және Эндрю Уайлс дәлелдеген) n кемінде 3 болатын бүтін сан үшін, \mathbb{P}^2 үстіндегі \mathbb{Q} қисығының жалғыз рационалдық нүктелері мыналар: [0,1,1] және [1,0,1]; n жұп болғанда [0,1,−1] және [1,0,−1]; ал n тақ болғанда [1,−1,0]. X қисығының (әдетте \mathbb{P}^2-дегі n дәрежелі кез келген тегіс қисық сияқты) туындысы бар.

Кемінде 2 туындысы бар, кез келген сан өрісіндегі қисықтың барлық рационалдық нүктелерін табуға арналған алгоритмнің бар-жоқтығы белгісіз. Кейбір жағдайларда жұмыс істейтін алгоритм бар. Оның жалпы жағдайда аяқталуы, сан өрісіндегі абельдік сорттың Тате-Шафаревич тобы шекті және қисықтар жағдайында Брауэр-Манин кедергісі Хассе принципіне жалғыз кедергі деген болжамдардан туындайды.

Рационалды нүктелері аз сорттар

Жоғары өлшемдерде біріктіретін мақсат – Бомбиери-Ланг болжамы, k сандық өрістегі жалпы типтегі кез келген X сан алуандығы үшін X-тің k рационалдық нүктелерінің жиыны X-те Зариски тығыз емес. (Яғни, k рационалдық нүктелер X-тің төмен өлшемді субварианттарының шекті бірістігінде қамтылған.) 1-өлшемде бұл дәл Фалтингс теоремасы, себебі қисық жалпы типте болады, егер және тек егер оның роды кем дегенде 2 болса. Ланг сондай-ақ рационалдық нүктелердің шектілігін Кобаяши гиперболикасымен байланыстыратын нақтырақ болжамдар жасады. Мысалы, Бомбиери-Ланг болжамы, егер d ≥ n + 2 болса, сандық өрістегі проективті кеңістікте \mathbb{P}^n дәрежелі тегіс гипербетте Зариски тығыз рационалдық нүктелер болмайды деп болжайды. Бұл жағдай туралы көп мәлімет жоқ. Бомбиери-Ланг жорамалының ең күшті белгілі нәтижесі – Абель түрлерінің субварианттары туралы Фалтингс теоремасы (қисықтар жағдайының жалпылануы). Атап айтқанда, егер X – Абель түрі A-ның сандық өріс k бойынша субварианты болса, онда X-тің барлық k рационалдық нүктелері X-те қамтылған Абельдің субварианттарының көшірмелерінің шекті бірістігінде болады. (Егер X оң өлшемді Абельдің ауысулы субварианттарын қамтымаса, онда X(k) шекті.)

Рационалды нүктелері көп сорттар

Керісінше, сандық өріс k бойынша X түрлерінің потенциалдық тығыз рационалдық нүктелері бар деп айтылады, егер k-нің шекті кеңейтілуі E болса, онда X-тің E рационалдық нүктелері X-те Зариски тығыздығын құраса. Фредерик Кампана түрлінің потенциалдық тығыз екендігін болжады, егер және тек қана егер ол оң өлшемді немесе жалпы типтегі орбифольда рационалдық фибрацияға ие болмаса. Белгілі жағдай – k сандық өрістегі \mathbb{P}^3-тегі әр қима бетінде потенциалдық тығыз рационалдық нүктелер бар, себебі (күштірек) ол k-нің кейбір шекті кеңейтілуі бойынша рационалды болады (егер ол жазықтық кубикалық қисығы бойынша конус болмаса). Кампананың болжамы сондай-ақ, сандық өріс бойынша K3 беті X (мысалы, \mathbb{P}^3-тегі тегіс квартик бет) потенциалдық тығыз рационалдық нүктелерге ие екенін білдіреді. Бұл тек ерекше жағдайларда ғана белгілі, мысалы, егер X эллипстік фибрация болса. Базалық өрісті кеңейтпестен түрлінің рационалдық нүктесінің болуын сұрауға болады. Сандық өріс бойынша \mathbb{P}^n-де d дәрежелі X гипербеті үшін, d, n-ден әлдеқайда кіші болғанда жақсы нәтижелер бар, көбінесе Харди-Литтлвуд шеңбер әдісіне негізделген. Мысалы, Хассе-Минковский теоремасы сандық өрістегі квадрикалық гипербеттер үшін Хассе принципінің орындалатынын айтады (1=d=2 жағдайы). Кристофер Хули n ≥ 8 болғанда \mathbb{P}^n үстіндегі тегіс кубикалық гипербеттер үшін Хассе принципін дәлелдеді. Жоғары өлшемдерде тіпті көбірек: Роджер Хит Браун бойынша, \mathbb{P}^n үстіндегі әр тегіс кубикалық n ≥ 9 болғанда рационалдық нүктеге ие. Жалпы алғанда, Берч теоремасы кез келген тақ оң бүтін сан d үшін, барлық n ≥ N үшін \mathbb{P}^n үстіндегі d дәрежелі әрбір гипербеттің рационалдық нүктесі бар болатын N бүтін санының бар екенін айтады. Төмен өлшемді гипербеттер үшін (олардың дәрежесі тұрғысынан) жағдай күрделірек болуы мүмкін. Мысалы, Иан Касселс пен Ричард Гай \mathbb{P}^3 үстіндегі тегіс кубикалық бет үшін Хассе принципінің орындалмағанын көрсетті. Жан-Луи Коллио-Телен кубикалық беттер үшін Хассе принципіне кедергі болатын Брауэр-Манин кедергісі ғана бар екенін болжады. Жалпы алғанда, бұл сандық өрістегі әрбір рационалды байланысқан түр үшін орындалуы керек. Кейбір жағдайларда, X-тің біреуі болғанда "көптеген" рационалдық нүктелері бар екені белгілі. Мысалы, Бениамино Сегре мен Юрий Маниннің жұмысын кеңейте отырып, Янош Коллар көрсетті: кемінде 2 өлшемді X кубикалық гипербеті үшін, егер X конус болмаса, X-тің k рационалдық нүктесі болса, онда X, k бойынша рационалды емес. (Атап айтқанда, k шексіз болғанда, рационалдылық k рационалдық нүктелер жиынының X-те Зариски тығыздығын білдіреді.) Манин болжамы – Фано түріндегі шектелген биіктіктегі рационалдық нүктелер санының асимптотикасын сипаттайтын неғұрлым нақты мәлімдеме.

In the opposite direction, a variety X over a number field k is said to have potentially dense rational points if there is a finite extension field E of k such that the E rational points of X are Zariski dense in X. Frédéric Campana conjectured that a variety is potentially dense if and only if it has no rational fibration over a positive dimensional orbifold of general type. A known case is that every cubic surface in \mathbb P^3 over a number field k has potentially dense rational points, because (more strongly) it becomes rational over some finite extension of k (unless it is the cone over a plane cubic curve). Campana's conjecture would also imply that a K3 surface X (such as a smooth quartic surface in \mathbb P^3) over a number field has potentially dense rational points. That is known only in special cases, for example if X has an elliptic fibration. One may ask when a variety has a rational point without extending the base field. In the case of a hypersurface X of degree d in \mathbb P^n over a number field, there are good results when d is much smaller than n, often based on the Hardy–Littlewood circle method. For example, the Hasse–Minkowski theorem says that the Hasse principle holds for quadric hypersurfaces over a number field (the case 1=d = 2). Christopher Hooley proved the Hasse principle for smooth cubic hypersurfaces in \mathbb P^n over \Q when n ≥ 8. In higher dimensions, even more is true: every smooth cubic in \mathbb P^n over \Q has a rational point when n ≥ 9, by Roger Heath Brown. More generally, Birch's theorem says that for any odd positive integer d, there is an integer N such that for all n ≥ N, every hypersurface of degree d in \mathbb P^n over \Q has a rational point. For hypersurfaces of smaller dimension (in terms of their degree), things can be more complicated. For example, the Hasse principle fails for the smooth cubic surface in \mathbb P^3 over \Q, by Ian Cassels and Richard Guy. Jean Louis Colliot Thélène has conjectured that the Brauer–Manin obstruction is the only obstruction to the Hasse principle for cubic surfaces. More generally, that should hold for every rationally connected variety over a number field. In some cases, it is known that X has "many" rational points whenever it has one. For example, extending work of Beniamino Segre and Yuri Manin, János Kollár showed: for a cubic hypersurface X of dimension at least 2 over a perfect field k with X not a cone, X is unirational over k if it has a k rational point. (In particular, for k infinite, unirationality implies that the set of k rational points is Zariski dense in X.) The Manin conjecture is a more precise statement that would describe the asymptotics of the number of rational points of bounded height on a Fano variety.