Введение

В алгебраической геометрии, точка с рациональными координатами. В теории чисел и алгебраической геометрии, рациональная точка алгебраического многообразия — это точка, координаты которой принадлежат заданному полю. Если поле не указано, то обычно подразумевается поле рациональных чисел. Если поле является полем действительных чисел, то рациональная точка чаще называется действительной точкой. Изучение рациональных точек является центральной задачей теории чисел и диофантовой геометрии. Например, последнюю теорему Ферма можно переформулировать следующим образом: для n > 2, кривая Ферма уравнения не имеет других рациональных точек, кроме (1, 0), (0, 1), и, если n чётное, (−1, 0) и (0, −1).

Рациональные точки на кривых

Большую часть теории чисел можно рассматривать как изучение рациональных точек алгебраических многообразий, удобной средой для которых являются гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек существенно зависит от рода кривой.

Род 0

Каждая гладкая проективная кривая X рода нуль над полем k изоморфна конической (степени 2) кривой в \mathbb P^2. Если X имеет k-рациональную точку, то она изоморфна \mathbb P^1 над k, и следовательно, её k-рациональные точки полностью изучены. Если k – поле \Q рациональных чисел (или, в более общем случае, числовое поле), существует алгоритм для определения, имеет ли заданная коника рациональную точку, основанный на принципе Хассе: коника над \Q имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда она имеет точку над всеми полями, завершающими \Q, то есть над \R и всеми p-адическими полями \Q_p.

Род 1

Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. Принцип Хассе в этом случае не выполняется: например, как показал Эрнст Селмер, кубическая кривая в \mathbb P^2 имеет точку над всеми полями завершения \Q, но не имеет рациональной точки. Нарушение принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тате — Шафаревича. Если X — кривая рода 1 с k-рациональной точкой, то X называется эллиптической кривой над k. В этом случае X имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с точкой, являющейся нулевым элементом), и, следовательно, множество X(k) k-рациональных точек является абелевой группой. Теорема Морделла — Вейля утверждает, что для эллиптической кривой (или, в более общем случае, абелева многообразия) X над числовым полем k, абелева группа X(k) конечно порождена. Программы компьютерной алгебры могут определить группу Морделла — Вейля X(k) во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это вытекает из гипотезы о конечности группы Тате — Шафаревича или из связанной с ней гипотезы Бирча — Свиннертона-Дайера.

Род не менее 2

Теорема Фальтинга (ранее гипотеза Морделла) утверждает, что для любой кривой X рода не менее 2 над числовым полем k, множество X(k) конечно. Некоторые из величайших достижений теории чисел заключаются в определении рациональных точек на конкретных кривых. Например, последняя теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом) эквивалентна утверждению о том, что для целого числа n, не меньшего 3, единственными рациональными точками кривой в \mathbb{P}^2 над \mathbb{Q} являются очевидные: [0,1,1] и [1,0,1]; [0,1,−1] и [1,0,−1] для четных n; и [1,−1,0] для нечетных n. Кривая X (как и любая гладкая кривая степени n в \mathbb{P}^2) имеет род.

Неизвестно, существует ли алгоритм для нахождения всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. Существует алгоритм, который работает в некоторых случаях. Его завершение в общем случае вытекает из предположений о том, что группа Тате — Шафаревича абелева многообразия над числовым полем конечна, и что препятствие Брауэра — Манина является единственным препятствием к принципу Хассе в случае кривых.

Сорты с небольшим количеством рациональных точек

В более высоких измерениях одной объединяющей целью является гипотеза Бомбиери — Ланга, утверждающая, что для любого многообразия X общего типа над числовым полем k, множество k-рациональных точек X не является плотным по Зариски в X. (То есть, k-рациональные точки содержатся в конечном объединении подмногообразий X меньшей размерности.) В размерности 1 это точно теорема Фальтинга, поскольку кривая является общего типа тогда и только тогда, когда её род не меньше 2. Ланг также выдвинул более точные гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяси. Например, гипотеза Бомбиери — Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени d в проективном пространстве \mathbb{P}^n над числовым полем не имеет рациональных точек, плотных по Зариски, если d ≥ n + 2. Об этом случае известно немного. Самым сильным известным результатом, связанным с гипотезой Бомбиери — Ланга, является теорема Фальтинга о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если X является подмногообразием абелева многообразия A над числовым полем k, то все k-рациональные точки X содержатся в конечном объединении сдвигов абелевых подмногообразий, содержащихся в X. (Таким образом, если X не содержит сдвинутых абелевых подмногообразий положительной размерности, то X(k) конечно.)

Разновидности с большим количеством рациональных точек

В противоположном направлении, многообразие X над числовым полем k называется обладающим потенциально плотными рациональными точками, если существует конечное расширение поля E поля k, такое что E-рациональные точки X образуют плотное по Зариски множество в X. Фредерик Кампана предположил, что многообразие обладает потенциальной плотностью тогда и только тогда, когда у него нет рациональной фибрации над орбифолдом общего типа положительной размерности. Известно, что каждая кубическая поверхность в \mathbb P^3 над числовым полем k обладает потенциально плотными рациональными точками, поскольку (более сильное утверждение) она становится рациональной над некоторым конечным расширением k (если это не конус над плоской кубической кривой). Предположение Кампаны также подразумевает, что поверхность K3 X (например, гладкая квартичная поверхность в \mathbb P^3) над числовым полем обладает потенциально плотными рациональными точками. Это известно лишь в частных случаях, например, если у X есть эллиптическая фибрация. Можно спросить, когда многообразие имеет рациональную точку без расширения базового поля. В случае гиперповерхности X степени d в \mathbb P^n над числовым полем, существуют хорошие результаты, когда d значительно меньше n, часто основанные на методе круга Харди — Литтлвуда. Например, теорема Хассе — Минковского утверждает, что принцип Хассе выполняется для квадратичных гиперповерхностей над числовым полем (случай d = 2). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в \mathbb P^n над \Q при n ≥ 8. В более высоких размерностях верно даже большее: каждый гладкий кубик в \mathbb P^n над \Q имеет рациональную точку при n ≥ 9, как показал Роджер Хит Браун. В более общем виде теорема Бирча утверждает, что для любого нечётного положительного целого числа d существует целое число N, такое что для всех n ≥ N каждая гиперповерхность степени d в \mathbb P^n над \Q имеет рациональную точку. Для гиперповерхностей меньшей размерности (с точки зрения их степени) ситуация может быть сложнее. Например, принцип Хассе не выполняется для гладкой кубической поверхности в \mathbb P^3 над \Q, как показали Иэн Касселс и Ричард Гай. Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра — Манина является единственным препятствием для принципа Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле, это должно быть верно для каждого рационально связного многообразия над числовым полем. В некоторых случаях известно, что если у X есть хотя бы одна рациональная точка, то у него их "много". Например, развивая работы Бениамино Сегре и Юрия Манина, Янош Коллар показал: для кубической гиперповерхности X размерности не менее 2 над совершенным полем k, не являющейся конусом, X унирациональна над k, если у неё есть k-рациональная точка. (В частности, для бесконечного k унирациональность влечёт за собой, что множество k-рациональных точек плотно по Зариски в X.) Предположение Манина — это более точное утверждение, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на многообразии Фано.