Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Көптүзекті алгебралық есептеулерге арналған графикалық белгілеу
Graphical notation for multilinear algebra calculations
Математика мен физикада Пенроуздың графикалық белгісі немесе тензорлық диаграмма белгісі – Роджер Пенроуздың 1971 жылы ұсынған көптүзекті функцияларды немесе тензорларды (көбінесе қолмен салынған) көрнекі бейнелеу тәсілі. Бұл белгідегі диаграмма бірнеше пішіннен тұрады, олар сызықтармен байланыстырылған. Бұл белгілеу қазіргі кванттық теорияда, әсіресе матрицалық көбейтінді күйлерінде және кванттық тізбектерде кеңінен қолданылады. Атап айтқанда, ZX есептеуін қамтитын категориялық кванттық механика – Пенроуз диаграммалары арқылы кванттық теорияны толыққанды қайта құру болып табылады және қазір кванттық индустрияда кеңінен қолданылады. Бұл белгілеуді Предраг Цвитанович жан-жақты зерттеді, ол оны Фейнман диаграммаларымен және басқа да ұқсас белгілеулермен бірге классикалық Ли топторын жіктеуге арналған топтық теориялық диаграмма – «құс іздерін» әзірлеуде пайдаланды. Пенроуз белгісі физикадағы спин желілері үшін бейнелеу теориясын қолдану арқылы және сызықтық алгебрадағы диаграммаларды іздеу үшін матрицалық топтарды пайдалану арқылы да жалпыландырылды.
In mathematics and physics, Penrose graphical notation or tensor diagram notation is a (usually handwritten) visual depiction of multilinear functions or tensors proposed by Roger Penrose in 1971. A diagram in the notation consists of several shapes linked together by lines. The notation widely appears in modern quantum theory, particularly in matrix product states and quantum circuits. In particular, Categorical quantum mechanics which includes ZX calculus is a fully comprehensive reformulation of quantum theory in terms of Penrose diagrams, and is now widely used in quantum industry. The notation has been studied extensively by Predrag Cvitanović, who used it, along with Feynman's diagrams and other related notations in developing "birdtracks", a group theoretical diagram to classify the classical Lie groups. Penrose's notation has also been generalized using representation theory to spin networks in physics, and with the presence of matrix groups to trace diagrams in linear algebra.
Көптүзекті алгебра
Көптүзекті алгебра тілінде әрбір пішін көптүзекті функцияны көрсетеді. Пішіндерге қосылған сызықтар функцияның кірістері немесе шығыстарын көрсетеді, ал пішіндерді бір жолмен біріктіру функциялардың композициясы болып табылады.
In the language of multilinear algebra, each shape represents a multilinear function. The lines attached to shapes represent the inputs or outputs of a function, and attaching shapes together in some way is essentially the composition of functions.
Тензорлар
Тензорлық алгебра тілінде, әрбір тензор нақты пішінмен байланысты, онда көптеген сызықтар жоғары және төмен қарай бағытталған, бұл тензорлардың абстрактілі жоғарғы және төменгі индекстеріне сәйкес келеді. Екі пішін арасындағы байланыстыратын сызықтар индекстердің қысқартылуын көрсетеді. Бұл жазудың бір артықшылығы – жаңа индекстер үшін жаңа әріптер ойлап табу қажеттігі тумайды. Бұл белгілеу негізге тәуелді емес.
In the language of tensor algebra, a particular tensor is associated with a particular shape with many lines projecting upwards and downwards, corresponding to abstract upper and lower indices of tensors respectively. Connecting lines between two shapes corresponds to contraction of indices. One advantage of this notation is that one does not have to invent new letters for new indices. This notation is also explicitly basis independent.
Матрицалар
Әрбір пішін матрицаны көрсетеді, тензорлық көбейту көлденең бағытта, ал матрицалық көбейту тік бағытта орындалады.
Each shape represents a matrix, and tensor multiplication is done horizontally, and matrix multiplication is done vertically.
Метриялық тензор
Метрикалық тензор қолданылатын тензор түріне қарай U пішіндес тізбек немесе төңкерілген U пішіндес тізбек түрінде бейнеленеді.
The metric tensor is represented by a U shaped loop or an upside down U shaped loop, depending on the type of tensor that is used.
Леви-Сивита тензоры
Леви-Чивитаның антисимметриялық тензоры, қолданылатын тензор түріне қарай, төменге немесе жоғары бағытталған сызықшалары бар қалың көлденең сызықпен белгіленеді.
The Levi Civita antisymmetric tensor is represented by a thick horizontal bar with sticks pointing downwards or upwards, depending on the type of tensor that is used.
Құрылымдық тұрақты
Ли алгебрасының құрылым тұрақтылары бір жоғары, екі төмен бағытталған кішкентай үшбұрышпен бейнеленеді.
The structure constants of a Lie algebra are represented by a small triangle with one line pointing upwards and two lines pointing downwards.
Индекстердің қысқаруы
Индекстердің қысқартылуы индекс жолдарының біріктірілуімен бейнеленеді.
Contraction of indices is represented by joining the index lines together.
Симметриялық
Индекстердің симметриялануы индекс сызықтарын көлденең басып өтетін қалың зигзаг немесе толқын тәрізді сызық арқылы көрсетіледі.
Symmetrization of indices is represented by a thick zig zag or wavy bar crossing the index lines horizontally.
Антисимметриялық
Индекстердің антисимметриялануы индекстік сызықтарды көлденең қиып өтетін қалың түзу сызықпен көрсетіледі.
Antisymmetrization of indices is represented by a thick straight line crossing the index lines horizontally.
Анықтамалық фактор
Детерминант индекстерге антисимметрия қолдану арқылы құрастырылады.
The determinant is formed by applying antisymmetrization to the indices.
Ковариантты туынды
Ковариантты туынды дифференциалдау керек тензор(лар)дың үстінен сызылған шеңбермен және туындының төменгі индексін көрсету үшін шеңберден төмен қарай бағытталған сызықпен белгіленеді.
The covariant derivative is represented by a circle around the tensor(s) to be differentiated and a line joined from the circle pointing downwards to represent the lower index of the derivative.
Тензорды манипуляциялау
Диаграммалық белгілеу тензорлық алгебраны қолдануда ыңғайлы. Ол көбінесе тензорлық амалдардың бірнеше қарапайым "теңдіктерін" қамтиды. Мысалы, n – өлшемдер саны болатын , жиі қолданылатын "теңдік" болып табылады.
The diagrammatic notation is useful in manipulating tensor algebra. It usually involves a few simple "identities" of tensor manipulations. For example, , where n is the number of dimensions, is a common "identity".
Ұзартулар
Жазу спиннерлер мен твисторларды қолдаумен толықтырылды.
The notation has been extended with support for spinors and twistors.