Введение
Графическая нотация для вычислений в многолинейной алгебре
В математике и физике графическая нотация Пенроуза, или нотация тензорных диаграмм, — это (обычно рукописное) визуальное представление многолинейных функций или тензоров, предложенное Роджером Пенроузом в 1971 году. Диаграмма в этой нотации состоит из нескольких фигур, соединенных линиями. Эта нотация широко используется в современной квантовой теории, особенно в представлениях матричных произведений и квантовых схемах. В частности, категориальная квантовая механика, включающая в себя ZX-исчисление, представляет собой полную и всеобъемлющую переформулировку квантовой теории на языке диаграмм Пенроуза и в настоящее время широко применяется в квантовой индустрии. Эта нотация была всесторонне изучена Предрагом Цвитановичем, который использовал её вместе с диаграммами Фейнмана и другими смежными нотациями при разработке «птичьих траекторий» — группотеоретической диаграммы для классификации классических групп Ли. Нотация Пенроуза также была обобщена с использованием теории представлений для спиновых сетей в физике и с учетом матричных групп для трассировочных диаграмм в линейной алгебре.
Многолинейная алгебра
В языке многолинейной алгебры каждая фигура представляет собой мультилинейную функцию. Линии, присоединенные к фигурам, представляют собой входные или выходные данные функции, а соединение фигур каким-либо образом по сути является композицией функций.
Тензоры
В языке тензорной алгебры конкретный тензор ассоциируется с определенной схемой, имеющей множество линий, направленных вверх и вниз, соответствующих абстрактным ковариантным и контравариантным индексам тензоров соответственно. Соединяющие линии между схемами соответствуют свертке индексов. Одним из преимуществ этой нотации является то, что не требуется придумывать новые буквы для обозначения новых индексов. Эта нотация также явно не зависит от выбора базиса.
Матрицы
Каждая фигура представляет собой матрицу, а тензорное произведение выполняется по горизонтали, а матричное — по вертикали.
Метрический тензор
Метрический тензор изображается петлей в форме буквы U или перевернутой петлей в форме буквы U, в зависимости от типа используемого тензора.
Тензор Леви-Сивиты
Антисимметричный тензор Леви-Чивиты представляется толстой горизонтальной чертой с вертикальными штрихами, направленными вниз или вверх, в зависимости от типа тензора.
Структурная константа
Структурные константы алгебры Ли представляются небольшим треугольником с одной линией, направленной вверх, и двумя линиями, направленными вниз.
Снижение индексов
Сжатие индексов изображается соединением линий индексов.
Симметризация
Симметризация индексов обозначается толстым зигзагом или волнистой чертой, пересекающей линии индексов горизонтально.
Антисимметризация
Антисимметризация индексов изображается толстой прямой линией, пересекающей индексные линии горизонтально.
Определяющий фактор
Детерминант формируется применением антисимметризации к индексам.
Ковариантная производная
Ковариантная производная обозначается кружком вокруг тензора (тензоров), по которому (которым) производится дифференцирование, и линией, идущей от кружка вниз, для обозначения нижнего индекса производной.
Манипуляция тензором
Диаграмматическая нотация удобна для работы с тензорной алгеброй. Она обычно основана на нескольких простых "тождествах" для тензорных преобразований. Например, , где n — размерность пространства, является распространенным "тождеством".
Расширения
Нотация была расширена и теперь поддерживает спиноры и твисторы.