Кіріспе
Толыққанды қысқартылған бөлшек
An irreducible fraction (or fraction in lowest terms, simplest form or reduced fraction) is a fraction in which the numerator and denominator are integers that have no other common divisors than 1 (and −1, when negative numbers are considered). In other words, a fraction is irreducible if and only if a and b are coprime, that is, if a and b have a greatest common divisor of 1. In higher mathematics, "irreducible fraction" may also refer to rational fractions such that the numerator and the denominator are coprime polynomials. Every rational number can be represented as an irreducible fraction with positive denominator in exactly one way. An equivalent definition is sometimes useful: if a and b are integers, then the fraction is irreducible if and only if there is no other equal fraction such that or , where means the absolute value of a. (Two fractions and are equal or equivalent if and only if ad = bc.) For example, , , and are all irreducible fractions. On the other hand, is reducible since it is equal in value to , and the numerator of is less than the numerator of
A fraction that is reducible can be reduced by dividing both the numerator and denominator by a common factor. It can be fully reduced to lowest terms if both are divided by their greatest common divisor. In order to find the greatest common divisor, the Euclidean algorithm or prime factorization can be used. The Euclidean algorithm is commonly preferred because it allows one to reduce fractions with numerators and denominators too large to be easily factored.
Кемелсіз бөлшек (немесе ең төменгі күйдегі бөлшек, ең қарапайым түріндегі немесе қысқартылған бөлшек) – бұл бөлшек, онда алымы мен бөлімі 1-ге (және теріс сандар ескерілсе, -1-ге) ғана ортақ бөлгіші бар бүтін сандар болады. Басқаша айтқанда, бөлшек кемелсіз болады, егер және тек қана алымы мен бөлімі өзара жай сан болса, яғни, олардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болса. Жоғары математикада "кемелсіз бөлшек" термині алымы мен бөлімі өзара жай көпмүшелер болатын рационалды бөлшектерге де қатысты болуы мүмкін. Кез келген рационалды санды оң бөлімі бар кемелсіз бөлшек түрінде бір ғана жолмен көрсетуге болады. Кейде мынадай эквивалентті анықтама пайдалы: егер a және b бүтін сандар болса, онда бөлшек кемелсіз болады, егер және тек қана басқа тең бөлшек болмаса, яғни немесе , мұндағы – a-ның абсолюттік мәні. (Екі бөлшек тең немесе эквивалентті болады, егер және тек қана ad = bc болса.) Мысалы, , , және – барлығы кемелсіз бөлшектер. Ал , керісінше, қысқартылатын болады, өйткені оның мәні тең, және бөлшектің алымы бөлшектің алымынан кіші.
An irreducible fraction (or fraction in lowest terms, simplest form or reduced fraction) is a fraction in which the numerator and denominator are integers that have no other common divisors than 1 (and −1, when negative numbers are considered). In other words, a fraction is irreducible if and only if a and b are coprime, that is, if a and b have a greatest common divisor of 1. In higher mathematics, "irreducible fraction" may also refer to rational fractions such that the numerator and the denominator are coprime polynomials. Every rational number can be represented as an irreducible fraction with positive denominator in exactly one way. An equivalent definition is sometimes useful: if a and b are integers, then the fraction is irreducible if and only if there is no other equal fraction such that or , where means the absolute value of a. (Two fractions and are equal or equivalent if and only if ad = bc.) For example, , , and are all irreducible fractions. On the other hand, is reducible since it is equal in value to , and the numerator of is less than the numerator of
A fraction that is reducible can be reduced by dividing both the numerator and denominator by a common factor. It can be fully reduced to lowest terms if both are divided by their greatest common divisor. In order to find the greatest common divisor, the Euclidean algorithm or prime factorization can be used. The Euclidean algorithm is commonly preferred because it allows one to reduce fractions with numerators and denominators too large to be easily factored.
Қысқартылатын бөлшек алымы мен бөлімін ортақ бөлгішке бөлу арқылы қысқартылады. Егер екеуі де ең үлкен ортақ бөлгішке бөлінсе, оны ең төменгі күйге дейін толық қысқартуға болады. Ең үлкен ортақ бөлгішті табу үшін Евклид алгоритмін немесе жай көбейткіштерге жіктеуді қолдануға болады. Евклид алгоритмі көбінесе артықшылыққа ие, өйткені ол оңай жіктеуге келмейтін алымы мен бөлімі бар бөлшектерді қысқартуға мүмкіндік береді.
An irreducible fraction (or fraction in lowest terms, simplest form or reduced fraction) is a fraction in which the numerator and denominator are integers that have no other common divisors than 1 (and −1, when negative numbers are considered). In other words, a fraction is irreducible if and only if a and b are coprime, that is, if a and b have a greatest common divisor of 1. In higher mathematics, "irreducible fraction" may also refer to rational fractions such that the numerator and the denominator are coprime polynomials. Every rational number can be represented as an irreducible fraction with positive denominator in exactly one way. An equivalent definition is sometimes useful: if a and b are integers, then the fraction is irreducible if and only if there is no other equal fraction such that or , where means the absolute value of a. (Two fractions and are equal or equivalent if and only if ad = bc.) For example, , , and are all irreducible fractions. On the other hand, is reducible since it is equal in value to , and the numerator of is less than the numerator of
A fraction that is reducible can be reduced by dividing both the numerator and denominator by a common factor. It can be fully reduced to lowest terms if both are divided by their greatest common divisor. In order to find the greatest common divisor, the Euclidean algorithm or prime factorization can be used. The Euclidean algorithm is commonly preferred because it allows one to reduce fractions with numerators and denominators too large to be easily factored.
Мысалдар
Бірінші қадамда екі санды да 10-ға бөлінді, себебі 10-дық саны 120 мен 90-ға ортақ көбейткіш. Екінші қадамда олар 3-ке бөлінді. Соңғы нәтиже, , қысқартылмайтын бөлшек болып табылады, өйткені 4 пен 3-тің 1-ден басқа ортақ көбейткіштері жоқ. Бастапқы бөлшекті 90 мен 120-ның ең үлкен ортақ бөлгішін қолданып, бір қадамда қысқартуға да болар еді, ол 30-ға тең. 120 ÷ 30 = 4 және 90 ÷ 30 = 3 болғандықтан, қандай әдіс «қолмен» жылдамырақ болатыны бөлшектің түріне және ортақ көбейткіштерді анықтаудың қарапайымдылығына байланысты. Егер алымы мен бөлімі тым үлкен болып, қарапайым тексеру арқылы олардың өзара жай екеніне көз жеткізе алмаса, бөлшектің шын мәнінде қысқартылғанына сенімді болу үшін ең үлкен ортақ бөлгішті есептеу қажет.
Which method is faster "by hand" depends on the fraction and the ease with which common factors are spotted. In case a denominator and numerator remain that are too large to ensure they are coprime by inspection, a greatest common divisor computation is needed anyway to ensure the fraction is actually irreducible.
Бірегейлігі
Әрбір рационалды санның оң бөлшегімен толымсыз бөлшек түрінде бірегей өрнегі болады. Бұл, ең алдымен, өріс үстіндегі рационалды өрнектерге қатысты. Белгілі бір элемент үшін толымсыз бөлшек, бөлшегі мен санын бірдей кері өтетін элементке көбейтуге дейін бірегей болады. Рационалды сандар жағдайында, бұл кез келген санның екі толымсыз бөлшегі бар екенін білдіреді, олар бөлшегі мен санын қарама-қарсы белгіге өзгерту арқылы байланысты; осы екіұстамалықты бөлшектің оң болуын талап ету арқылы жоюға болады. Рационалды функциялар жағдайында, бөлшектің біртұтас көпмүше болуы да талап етілуі мүмкін.