Введение
Несократимая дробь (или дробь в простейшем виде, наименьших терминах или приведённая дробь) – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются целыми числами, не имеющими общих делителей, кроме 1 (и -1, если рассматриваются отрицательные числа). Иными словами, дробь несократима тогда и только тогда, когда a и b взаимно просты, то есть их наибольший общий делитель равен 1. В высшей математике "несократимая дробь" может также относиться к рациональным дробям, у которых числитель и знаменатель – взаимно простые многочлены. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби с положительным знаменателем единственным способом. Иногда полезно использовать эквивалентное определение: если a и b – целые числа, то дробь несократима тогда и только тогда, когда не существует другой равной дроби , такой что или , где обозначает абсолютную величину a. (Две дроби и равны или эквивалентны тогда и только тогда, когда ad = bc.) Например, , , и – все несократимые дроби. С другой стороны, сократима, так как она равна по значению , а числитель меньше числителя . Сократимую дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на общий делитель. Её можно полностью сократить до простейшего вида, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Для нахождения наибольшего общего делителя можно использовать алгоритм Евклида или разложение на простые множители. Алгоритм Евклида обычно предпочтительнее, поскольку он позволяет сокращать дроби с числителями и знаменателями, которые слишком велики для лёгкого разложения на множители.
An irreducible fraction (or fraction in lowest terms, simplest form or reduced fraction) is a fraction in which the numerator and denominator are integers that have no other common divisors than 1 (and −1, when negative numbers are considered). In other words, a fraction is irreducible if and only if a and b are coprime, that is, if a and b have a greatest common divisor of 1. In higher mathematics, "irreducible fraction" may also refer to rational fractions such that the numerator and the denominator are coprime polynomials. Every rational number can be represented as an irreducible fraction with positive denominator in exactly one way. An equivalent definition is sometimes useful: if a and b are integers, then the fraction is irreducible if and only if there is no other equal fraction such that or , where means the absolute value of a. (Two fractions and are equal or equivalent if and only if ad = bc.) For example, , , and are all irreducible fractions. On the other hand, is reducible since it is equal in value to , and the numerator of is less than the numerator of
A fraction that is reducible can be reduced by dividing both the numerator and denominator by a common factor. It can be fully reduced to lowest terms if both are divided by their greatest common divisor. In order to find the greatest common divisor, the Euclidean algorithm or prime factorization can be used. The Euclidean algorithm is commonly preferred because it allows one to reduce fractions with numerators and denominators too large to be easily factored.
Примеры
На первом этапе оба числа были разделены на 10, который является общим делителем для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Конечный результат, , является несократимой дробью, поскольку 4 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Исходную дробь также можно было сократить за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30. Поскольку 120 ÷ 30 = 4 и 90 ÷ 30 = 3, получается,
Какой метод быстрее "вручную" – зависит от дроби и легкости обнаружения общих делителей. Если остаются числитель и знаменатель, которые слишком велики для проверки на взаимную простоту "на глаз", потребуется вычисление наибольшего общего делителя, чтобы убедиться, что дробь действительно несократима.
Уникальность
Каждое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби с положительным знаменателем. Это применимо, в частности, к рациональным выражениям над полем. Несократимая дробь для данного элемента единственна с точностью до умножения числителя и знаменателя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число может быть представлено двумя несократимыми дробями, связанными изменением знака как числителя, так и знаменателя; эта неоднозначность может быть устранена, если потребовать, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций можно аналогично потребовать, чтобы знаменатель был мономическим многочленом.