Кіріспе
Математикада, изоморфизм – кері картамен кері айналдырылатын, бір типті екі құрылымның арасында құрылымды сақтайтын карталау. Егер екі математикалық құрылымның арасында изоморфизм болса, онда олар изоморфты болып табылады. Изоморфизм сөзі ежелгі грек тілінен алынған: ἴσος isos – «тең» және μορφή morphe – «форма» немесе «келбет». Изоморфизмге қызығушылықтың себебі – екі изоморфты объектінің бірдей қасиеттері болуында (қосымша құрылым немесе объектілердің атаулары сияқты қосымша ақпаратты ескермегенде). Осылайша, изоморфты құрылымдарды тек құрылымдық тұрғыдан ажырату мүмкін емес, оларды тең деп санауға болады. Математикалық терминологияда екі объектінің изоморфизмге дейін бірдей екенін айтады. Автоморфизм – құрылымның өзіне изоморфизмі. Екі құрылым арасындағы изоморфизм, егер олардың арасында бір ғана изоморфизм болса (мысалы, универсалды қасиеттің шешімдері үшін), немесе басқа изоморфизмдерге қарағанда әлдеқайда табиғи болса, каноникалық изоморфизм (изоморфизм болатын каноникалық карта) болып табылады. Мысалы, кез келген p жай саны үшін p элементі бар барлық өрістер каноникалық түрде изоморфты, бірегей изоморфизммен. Изоморфизм теоремалары бірегей емес каноникалық изоморфизмдерді ұсынады. Изоморфизм термині көбінесе алгебралық құрылымдар үшін қолданылады. Бұл жағдайда, карталаулар гомоморфизмдер деп аталады, ал гомоморфизм, егер және тек қана ол биективті болса, изоморфизм болып табылады. Математиканың әртүрлі салаларында изоморфизмдер қарастырылып отырған құрылым түріне байланысты арнайы атауларға ие. Мысалы: Изометрия – метрикалық кеңістіктердің изоморфизмі. Гомеоморфизм – топологиялық кеңістіктердің изоморфизмі. Дифеоморфизм – дифференциалдық құрылыммен жабдықталған кеңістіктердің изоморфизмі, әдетте дифференциалданатын көптіктер. Симплектоморфизм – симплектікалық көптіктердің изоморфизмі. Пермутация – жиынның автоморфизмі. Геометрияда изоморфизмдер мен автоморфизмдер көбінесе трансформациялар деп аталады, мысалы, қатаң трансформациялар, аффиндік трансформациялар, проективтік трансформациялар. Категориялар теориясы, құрылымдар арасындағы карталау тұжырымдамасын формалдау ретінде қарастырылатын, осы негізгі идеяның әртүрлі аспектілеріне деген көзқарасты біріктіруге мүмкіндік беретін тілді ұсынады.
mathematics
In mathematics, an isomorphism is a structure preserving mapping between two structures of the same type that can be reversed by an inverse mapping. Two mathematical structures are isomorphic if an isomorphism exists between them. The word isomorphism is derived from the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape". The interest in isomorphisms lies in the fact that two isomorphic objects have the same properties (excluding further information such as additional structure or names of objects). Thus isomorphic structures cannot be distinguished from the point of view of structure only, and may be identified. In mathematical jargon, one says that two objects are the same up to an isomorphism. An automorphism is an isomorphism from a structure to itself. An isomorphism between two structures is a canonical isomorphism (a canonical map that is an isomorphism) if there is only one isomorphism between the two structures (as is the case for solutions of a universal property), or if the isomorphism is much more natural (in some sense) than other isomorphisms. For example, for every prime number p, all fields with p elements are canonically isomorphic, with a unique isomorphism. The isomorphism theorems provide canonical isomorphisms that are not unique. The term isomorphism is mainly used for algebraic structures. In this case, mappings are called homomorphisms, and a homomorphism is an isomorphism if and only if it is bijective. In various areas of mathematics, isomorphisms have received specialized names, depending on the type of structure under consideration. For example:
An isometry is an isomorphism of metric spaces. A homeomorphism is an isomorphism of topological spaces. A diffeomorphism is an isomorphism of spaces equipped with a differential structure, typically differentiable manifolds. A symplectomorphism is an isomorphism of symplectic manifolds. A permutation is an automorphism of a set. In geometry, isomorphisms and automorphisms are often called transformations, for example rigid transformations, affine transformations, projective transformations. Category theory, which can be viewed as a formalization of the concept of mapping between structures, provides a language that may be used to unify the approach to these different aspects of the basic idea.
Логарифм және экспоненциалдық
Бұл оң нақты сандардың көбейту тобы болсын, ал бұл нақты сандардың қосу тобы болсын. Логарифм функциясы барлық үшін қанағаттандырады, сондықтан ол топтық гомоморфизм болып табылады. Экспоненциалдық функция барлық үшін қанағаттандырады, сондықтан ол да гомоморфизм. Бұл теңдіктер екеуінің де бір-біріне кері екенін көрсетеді. Гомоморфизм, сонымен қатар гомоморфизм болатын кері функцияға ие болғандықтан, топтардың изоморфизмі болып табылады. Логарифм функциясы – оң нақты сандардың көбейтуін нақты сандардың қосуына айналдыратын изоморфизм. Бұл мүмкіндік, нақты сандарды сызғыш пен логарифм кестесі арқылы немесе логарифмдік шкаласы бар есептегіш сызғыш арқылы көбейтуге мүмкіндік береді.
Қолданбалар
Алгебрада изоморфизмдер барлық алгебралық құрылымдар үшін анықталады. Кейбіреулері арнайы зерттелген; мысалы: векторлық кеңістіктер арасындағы сызықтық изоморфизмдер; олар кері өзгеритін матрицалармен анықталады. Топтар арасындағы топтық изоморфизмдер; шекті топтардың изоморфизм кластарын жіктеу ашық мәселе болып қалады. Сақиналар арасындағы сақиналық изоморфизм. Далалық изоморфизмдер далалардағы сақиналық изоморфизмдермен бірдей; оларды зерттеу, әсіресе далалық автоморфизмдерді зерттеу, Галуа теориясының маңызды бөлігі болып табылады. Алгебралық құрылымның автоморфизмдері топ құрағандай, ортақ құрылымды бөлісетін екі алгебра арасындағы изоморфизмдер үйінді құрайды. Нақты бір изоморфизмді екі құрылымды анықтауға мүмкіндік беру осы үйіндіні топқа айналдырады. Математикалық талдауда Лаплас түрлендіруі – қиын дифференциалдық теңдеулерді оңай алгебралық теңдеулерге бейнелейтін изоморфизм. Графтар теориясында G және H екі графы арасындағы изоморфизм – G-нің төбелерінен H-нің төбелеріне дейінгі f биективті бейнелеу, мұнда G-де u төбесінен v төбесіне жиек болса, H-де де сәйкес жиек болады, яғни "қабырға құрылымын" сақтайды. Граф изоморфизміне қараңыз. Математикалық талдауда екі Гильберт кеңістігі арасындағы изоморфизм – қосу, скалярлық көбейту және ішкі көбейтіндіні сақтайтын биекция. Логикалық атомизмнің алғашқы теорияларында Бертран Рассел мен Людвиг Витгенштейн факт пен нақты тұжырымдар арасындағы формальды қатынасты изоморфты деп қарастырды. Осы ойдың мысалын Расселдің «Математикалық философияға кіріспе» еңбегінде табуға болады. Кибернетикада жақсы реттегіш немесе Конант-Эшби теоремасы былай тұжырымдалады: «Кез келген жүйені жақсы реттейтін құрылғы сол жүйенің моделі болуы керек». Реттегіш немесе өзін-өзі реттейтін болса да, жүйенің реттегіші мен өңдеу бөлімдері арасында изоморфизм қажет.
Linear isomorphisms between vector spaces; they are specified by invertible matrices. Group isomorphisms between groups; the classification of isomorphism classes of finite groups is an open problem. Ring isomorphism between rings. Field isomorphisms are the same as ring isomorphism between fields; their study, and more specifically the study of field automorphisms is an important part of Galois theory. Just as the automorphisms of an algebraic structure form a group, the isomorphisms between two algebras sharing a common structure form a heap. Letting a particular isomorphism identify the two structures turns this heap into a group. In mathematical analysis, the Laplace transform is an isomorphism mapping hard differential equations into easier algebraic equations. In graph theory, an isomorphism between two graphs G and H is a bijective map f from the vertices of G to the vertices of H that preserves the "edge structure" in the sense that there is an edge from vertex u to vertex v in G if and only if there is an edge from to in H. See graph isomorphism. In mathematical analysis, an isomorphism between two Hilbert spaces is a bijection preserving addition, scalar multiplication, and inner product. In early theories of logical atomism, the formal relationship between facts and true propositions was theorized by Bertrand Russell and Ludwig Wittgenstein to be isomorphic. An example of this line of thinking can be found in Russell's Introduction to Mathematical Philosophy. In cybernetics, the good regulator or Conant–Ashby theorem is stated "Every good regulator of a system must be a model of that system". Whether regulated or self regulating, an isomorphism is required between the regulator and processing parts of the system.
Санаты бойынша теориялық көзқарас
Категориялар теориясында, С санаты берілген жағдайда, изоморфизм – кері морфизмге ие морфизм, яғни, және . Мысалы, биективті сызықтық бейнелеу – векторлық кеңістіктер арасындағы изоморфизм, ал керісі де үздіксіз болатын биективті үздіксіз функция – топологиялық кеңістіктер арасындағы изоморфизм, оны гомеоморфизм деп атайды. Егер бір-біріне кері болатын функторлар бар болса, C және D екі санаты изоморфты болады, яғни (D санатындағы сәйкестік функторы) және (C санатындағы сәйкестік функторы).
Изоморфизм бен биективті морфизм
Конкретті категорияда (шамамен, объектілері жиынтықтар (мүмкін, қосымша құрылыммен) және морфизмдері құрылымды сақтайтын функциялар болатын категорияда), мысалы, топологиялық кеңістіктер категориясы немесе алгебралық объектілер категориясы (топтар категориясы, сақиналар категориясы және модульдер категориясы сияқты), изоморфизм негізгі жиынтықтар бойынша биективті болуы тиіс. Алгебралық категорияларда (әсіресе, әмбебап алгебра мағынасындағы әр түрліліктер категорияларында) изоморфизм негізгі жиынтықтар бойынша биективті гомоморфизммен тең. Дегенмен, биективті морфизмдер міндетті түрде изоморфизмдер бола бермейтін конкретті категориялар да бар (мысалы, топологиялық кеңістіктер категориясы).