Кіріспе
Категориялар теориясында проективті объект ұғымы проективті модуль ұғымын кеңейтеді. Абельдік санаттардағы проективті объектілер гомологиялық алгебрада қолданылады. Проективті объектіге қарама-қарсы ұғым – инъективті объект.
Анықтама
Категориядағы объект проективті болып есептеледі, егер кез келген эпиморфизм f: A → B және морфизм g: X → B үшін, g: X → A морфизмі болса, осылайша f ∘ g = g, яғни келесі диаграмма коммутацияланады:
That is, every morphism factors through every epimorphism
If C is locally small, i. e., in particular is a set for any object X in C, this definition is equivalent to the condition that the hom functor (also known as corepresentable functor)
preserves epimorphisms.
Яғни, кез келген морфизм кез келген эпиморфизм арқылы факторланады. Егер C жергілікті жағынан кіші болса, яғни, атап айтқанда, C-дегі кез келген X объектісі үшін Hom(X, -) жиын болса, бұл анықтама hom функторының (сонымен қатар corepresentable функторы деп те аталады) эпиморфизмдерді сақтайтынымен эквивалентті.
That is, every morphism factors through every epimorphism
If C is locally small, i. e., in particular is a set for any object X in C, this definition is equivalent to the condition that the hom functor (also known as corepresentable functor)
preserves epimorphisms.
Шектелген кластарға қатысты проективтілік
берілген C санатындағы "инъекциялар" және "сүржетулер" екі кіші санатынан құралған бикатегорияға қатысты проективті (және дуалды инъективті) объектілер ұғымын талқылайды. Бұл кіші санаттар белгілі бір формальды қасиеттерге бағынады, соның ішінде кез келген сүржету эпиморфизм болуы керек деген талапқа да. Проективті объект (белгіленген сүржетулер класына қатысты) – P объектісі, онда Hom(P, −) белгіленген сүржетулер класын (барлық эпиморфизмдерге қарамастан) жиындардың сүржеттеріне (дәстүрлі мағынада) айналдырады.
Қасиеттері
Екі проективті объектінің копродукты проективті болады. Проективті объектінің ретрактысы проективті болады.
Мысалдар
Барлық жиынтықтар проективті деген мәлімдеме таңдау аксиомасына эквивалентті. Абельдік топтар санатындағы проективті объектілер – еркін абельдік топтар. бірлік элементі бар сақина болсын. Сол модульдердің (абельдік) Mod санатын қарастырайық. Mod санатындағы проективті объектілер – дәл сол проективті сол R модульдері. Осыған сәйкес, өзі Mod санатында проективті объекті болып табылады. Двойлі, Mod санатындағы инъективті объектілер – дәл сол инъективті сол R модульдері. Сол (оң) модульдер санаты да жеткілікті проективтерге ие. Бұл рас, себебі әрбір сол (оң) модуль үшін, оның генерациялық жиыны арқылы құрылған еркін (сонымен қатар проективті) модульді аламыз (мысалы, ). Содан кейін канондық проекция – қажетті сюръекция болады. Компактты Хаусдорф кеңістіктері санатындағы проективті объектілер – дәл осы шекті ажыратылмайтын кеңістіктер. Бұл нәтиже , оның қарапайымдалған дәлелі болған. Банах кеңістіктері мен жиырылулар (яғни, нормасы 1-ге тең немесе одан кем функционалдар) санатында эпиморфизмдер – дәл тығыз бейнелі функциялар. көрсеткендей, осы санаттағы жалғыз проективті объекті – нөлдік кеңістік. Дегенмен, сюръективті жиырылулар класына қатысты проективті болатын тривиальды емес кеңістіктер де бар. Созылулары бар нормаланған векторлық кеңістіктер санатында (және сюръекциялар "суръекциялар" ретінде қарастырылатын жағдайда), проективті объектілер – дәл кеңістіктер.
In the category of Banach spaces and contractions (i. e., functionals whose norm is at most 1), the epimorphisms are precisely the maps with dense image. shows that the zero space is the only projective object in this category. There are non trivial spaces, though, which are projective with respect to the class of surjective contractions. In the category of normed vector spaces with contractions (and surjective maps as "surjections"), the projective objects are precisely the spaces.