Введение
В теории категорий понятие проективного объекта обобщает понятие проективного модуля. Проективные объекты в абелевых категориях используются в гомологической алгебре. Двойственным понятием к проективному объекту является инъективный объект.
Определение
Объект в категории является проективным, если для любого эпиморфизма и морфизма существует морфизм такой, что , то есть следующая диаграмма коммутирует:
That is, every morphism factors through every epimorphism
If C is locally small, i. e., in particular is a set for any object X in C, this definition is equivalent to the condition that the hom functor (also known as corepresentable functor)
preserves epimorphisms.
Иными словами, любой морфизм факторизуется через любой эпиморфизм. Если C локально мал, то есть, в частности, для любого объекта X в C множество является множеством, это определение эквивалентно условию, что гомофунктор (также известный как коррепрезентабельный функтор) сохраняет эпиморфизмы.
That is, every morphism factors through every epimorphism
If C is locally small, i. e., in particular is a set for any object X in C, this definition is equivalent to the condition that the hom functor (also known as corepresentable functor)
preserves epimorphisms.
Проективность в отношении ограниченных классов
рассматривает понятие проективных (и двойных инъективных) объектов относительно так называемой бикатегории, состоящей из пары подкатегорий "инъекций" и "сверхъепиморфизмов" в данной категории C. Эти подкатегории удовлетворяют определенным формальным свойствам, включая требование, что любой сверхъепиморфизм является эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сверхъепиморфизмов) – это объект P, такой что Hom(P, −) превращает фиксированный класс сверхъепиморфизмов (а не всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).
Свойства
Сопродукт двух проективных объектов проективен. Относительное втягивание проективного объекта проективно.
Примеры
Утверждение, что все множества являются проективными, эквивалентно аксиоме выбора. Проективные объекты в категории абелевых групп — это свободные абелевы группы. Пусть R — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию Mod левых R-модулей. Проективные объекты в Mod — это как раз проективные левые R-модули. Следовательно, R само по себе является проективным объектом в Mod. Двойственно, инъективные объекты в Mod — это как раз инъективные левые R-модули. Категория левых (правых) R-модулей также имеет достаточно проективных. Это верно, поскольку для каждого левого (правого) R-модуля M можно взять за свободный (и, следовательно, проективный) R-модуль, порожденный порождающим множеством для M (например, можно взять M). Тогда каноническая проекция является требуемой эпипроекцией. Проективные объекты в категории компактных хаусдорфовых пространств — это как раз экстремально несвязные пространства. Этот результат принадлежит , с упрощенным доказательством, данным . В категории банаховых пространств и контракций (то есть функционалов, чья норма не превосходит 1), эпиморфизмы — это как раз отображения с плотным образом. показывает, что нулевое пространство — единственный проективный объект в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, которые являются проективными относительно класса сюръективных контракций. В категории нормированных векторных пространств с контракциями (и сюръективных отображений как "сюръекций") проективные объекты — это как раз пространства.
In the category of Banach spaces and contractions (i. e., functionals whose norm is at most 1), the epimorphisms are precisely the maps with dense image. shows that the zero space is the only projective object in this category. There are non trivial spaces, though, which are projective with respect to the class of surjective contractions. In the category of normed vector spaces with contractions (and surjective maps as "surjections"), the projective objects are precisely the spaces.