Primary ideal

Кіріспе

Математикада, әсіресе коммутативтік алгебрада, коммутативтік сақинаның дұрыс идеалы Q егер xy Q элементі болса, онда x немесе yn де Q элементі болса, онда n > 0 үшін бастапқы деп аталады. Мысалы, Z бүтін сандар сақинасында (pn) егер p - алғашқы сан болса, онда ол бастапқы идеал болып табылады. Бастапқы идеалдар түсінігі коммутативтік сақина теориясында маңызды, өйткені Ноэтер сақинасының әрбір идеалының бастапқы ыдырауы бар, яғни оны шекті көп негізгі идеалдардың қиылысы ретінде жазуға болады. Бұл нәтиже Ласкердің Нотер теоремасы деп аталады. Нәтижесінде, Ноэтериандық сақинаның азайтылмайтын идеалы бірінші орында. Негізгі идеалдарды коммутативті емес сақиналарға жалпылаудың әртүрлі әдістері бар, бірақ тақырып көбінесе коммутативті сақиналар үшін зерттеледі. Сондықтан, осы мақалада сөйлемдер сәйкестікке ие коммутативтік сөйлемдер деп есептеледі.

Мысалдар мен қасиеттері

Анықтаманы симметриялық түрде қайталап айтуға болады: егерде , егерде болса, онда дұрыс идеал біріншілік болып табылады. R-дің дұрыс идеалы Q егер R/Q-дегі әрбір нөлдік бөлгіш нилпотентті болса ғана бастапқы болып табылады. (Бұл жағдайды бірінші идеалдармен салыстырыңыз, онда P бірінші болып табылады, егер және тек R/P-дегі әрбір нөлдік бөлгіш шын мәнінде нөл болса.) Кез келген бастапқы идеал бастапқы болып табылады, сонымен қатар идеал бастапқы және жартылай бастапқы (сонымен қатар коммутативтік жағдайда радикалдық идеал деп аталады) болса ғана бастапқы болып табылады. Әрбір бастапқы идеал бастапқы болып табылады. Егер Q - негізгі идеал болса, онда Q радикалы міндетті түрде P негізгі идеалы болып табылады, ал бұл идеал Q-ның байланысты негізгі идеалы деп аталады. Бұл жағдайда Q - P негізгі деп аталады. Екінші жағынан, радикалы бірінші болып табылатын идеал міндетті түрде бірінші емес: мысалы, егер , , және , онда бірінші және , бірақ бізде , , және барлық n > 0, сондықтан бірінші емес. Бастапқы бөлшектеуі - ; мұнда - біріншілік және біріншілік. Алайда, радикалы максимал болып табылатын идеал - бастапқы. P радикалмен әрбір Q идеалы ең кіші P бастапқы идеалға кіреді: барлық a элементтері ax ∈ Q кейбір x P үшін. P ^ n) құрайтын ең кіші P бастапқы идеалы P-нің н-ші символды қуат деп аталады. Егер P - ең үлкен алғашқы идеал болса, онда P-дің қуаттылығы бар кез келген идеал P бастапқы болып табылады. P негізгі идеалдардың барлығы P-дің күштері болуы қажет емес, бірақ кем дегенде олар P-дің күштерін қамтиды; мысалы, (x, y2) идеалы P = (x, y) шеңберіндегі P-дің негізгі идеалы болып табылады, бірақ ол P-дің күші емес, бірақ ол P2 құрамында. Егер A - Ноэтерлік сақина және P - негізгі идеал болса, онда , ядросы, A-дан P-дегі A-ның орналасуына дейінгі карта, барлық P негізгі идеалдарының қиылысы болып табылады. Бастапқы идеалдардың шекті бос емес көбейтіндісі бастапқы, бірақ бастапқы идеалдардың шексіз көбейтіндісі бастапқы болмауы мүмкін; мысалы, максималды идеал бар Ноэтериандық жергілікті сақинада (Крулл қиылысу теоремасы), мұнда әрқайсысы бастапқы, мысалы, жергілікті сақинаның максималды (осыдан кейін бірінші және осыдан кейін бірінші) идеалдың шексіз көбейтіндісі нөлдік идеалды береді, бұл жағдайда бастапқы емес (себебі нөлдік бөлгіш нөлдік емес). Шын мәнінде, Ноэтерлік сақинада, егер және тек егер қандай да бір бүтін сан болса, онда бастапқы идеалдардың бос емес көбейтіндісі бастапқы болып табылады.

The definition can be rephrased in a more symmetric manner: a proper ideal is primary if, whenever , we have or or (Here denotes the radical of .) A proper ideal Q of R is primary if and only if every zero divisor in R/Q is nilpotent. (Compare this to the case of prime ideals, where P is prime if and only if every zero divisor in R/P is actually zero.) Any prime ideal is primary, and moreover an ideal is prime if and only if it is primary and semiprime (also called radical ideal in the commutative case). Every primary ideal is primal. If Q is a primary ideal, then the radical of Q is necessarily a prime ideal P, and this ideal is called the associated prime ideal of Q. In this situation, Q is said to be P primary. On the other hand, an ideal whose radical is prime is not necessarily primary: for example, if , , and , then is prime and , but we have , , and for all n > 0, so is not primary. The primary decomposition of is ; here is primary and is primary. An ideal whose radical is maximal, however, is primary. Every ideal Q with radical P is contained in a smallest P primary ideal: all elements a such that ax ∈ Q for some x ∉ P. The smallest P primary ideal containing P^(n) is called the nth symbolic power of P.
If P is a maximal prime ideal, then any ideal containing a power of P is P primary. Not all P primary ideals need be powers of P, but at least they contain a power of P; for example the ideal (x, y2) is P primary for the ideal P = (x, y) in the ring k[x, y], but is not a power of P, however it contains P². If A is a Noetherian ring and P a prime ideal, then the kernel of , the map from A to the localization of A at P, is the intersection of all P primary ideals. A finite nonempty product of primary ideals is primary but an infinite product of primary ideals may not be primary; since for example, in a Noetherian local ring with maximal ideal , (Krull intersection theorem) where each is primary, for example the infinite product of the maximal (and hence prime and hence primary) ideal of the local ring yields the zero ideal, which in this case is not primary (because the zero divisor is not nilpotent). In fact, in a Noetherian ring, a nonempty product of primary ideals is primary if and only if there exists some integer such that .