Введение

В математике, в частности в коммутативной алгебре, правильный идеал Q коммутативного кольца A называется первичным, если всякий раз, когда xy является элементом Q, тогда x или yn также является элементом Q, для некоторых n > 0. Например, в кольце целых чисел Z, (pn) является первичным идеалом, если p - простое число. Понятие первичных идеалов важно в коммутативной теории кольца, потому что каждый идеал ноэтерианского кольца имеет первичное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа первичных идеалов. Этот результат известен как теорема Ласкера Ноэтера. Следовательно, необратимый идеал ноэтерианского кольца является первичным. Существуют различные методы обобщения первичных идеалов для некоммутативных колец, но тема чаще всего изучается для коммутативных колец. Поэтому кольца в этой статье считаются коммутативными кольцами с идентичностью.

Примеры и свойства

Определение можно перефразировать более симметричным образом: правильный идеал является первичным, если, когда , у нас есть или или (здесь обозначает корень из .) Правильный идеал Q R является первичным, если и только если каждый нулевой делитель R/Q нилпотентентен. (Сравни это с случаем простых идеалов, где P является простым, если и только если каждый нулевой делитель в R/P на самом деле равен нулю.) Любой простейший идеал является простым, и кроме того, идеал является простым, если и только если он является простым и полупростым (также называемый радикальным идеалом в коммутативном случае). Каждый первичный идеал - первичный. Если Q - первичный идеал, то корень Q обязательно является первичным идеалом P, и этот идеал называется связанным первичным идеалом Q. В этой ситуации Q считается первичным P. С другой стороны, идеал, чей корень является простым, не обязательно является простым: например, если , , и , то простым и , но у нас есть , , и для всех n > 0, так что не является простым. Первичное разложение - это; здесь первично и первично. Однако идеал, радикал которого является максимальным, является первичным. Каждый идеал Q с радикалом P содержится в наименьшем первичном идеале P: все элементы a такие, что ax ∈ Q для некоторого x P. Самый маленький первичный идеал P, содержащий P^{n}), называется н-й символической степенью P. Если P - максимальный простый идеал, то любой идеал, содержащий степень P, является первичным. Не все первичные идеалы P должны быть степенями P, но, по крайней мере, они содержат степень P; например, идеал (x, y2) является первичным для идеала P = (x, y) в кольце k[x, y], но не является степенью P, однако он содержит P2. Если A - это кольцо Ноэтера, а P - простейший идеал, то ядро , карта от A до локализации A в P, является пересечением всех простейших идеалов P. Конечный непустой произведение первичных идеалов является первичным, но бесконечное произведение первичных идеалов может не быть первичным; так как, например, в ноэтерианском локальном кольце с максимальным идеалом , (теорема пересечения Крулла), где каждый из них является первичным, например, бесконечное произведение максимального (и, следовательно, первого и, следовательно, первичного) идеала локального кольца дает нулевой идеал, который в этом случае не является первичным (поскольку нулевой делитель не нилпотентентен). Фактически, в ноэтерианском кольце непустое произведение первичных идеалов является первичным, если и только если существует какое-то целое число, такое, что .