Кіріспе
Якобианның басқа жалпыламалары Алгебралық геометрияда жалпыланған Якобиан – бөлгіші бар қисыққа қатысты коммутативті алгебралық топ, ол толық қисықтың Якобиан әртүрлілігін жалпылайды. Олар 1954 жылы Максвелл Розенлихт тарапынан енгізілді және абельдік Галуа тобы бар қисықтың тармақталған жабындыларын зерттеу үшін қолданылуы мүмкін. Қисықтың жалпыланған Якобиандары – бұл қисықтың Якобианының коммутативті аффиндік алгебралық топ арқылы кеңейтілуі, Шевалье құрылым теоремасының тривиальды емес мысалдарын ұсынады.
In algebraic geometry a generalized Jacobian is a commutative algebraic group associated to a curve with a divisor, generalizing the Jacobian variety of a complete curve. They were introduced by Maxwell Rosenlicht in 1954, and can be used to study ramified coverings of a curve, with abelian Galois group. Generalized Jacobians of a curve are extensions of the Jacobian of the curve by a commutative affine algebraic group, giving nontrivial examples of Chevalley's structure theorem.
Анықтама
C толық емес сингулярлық қисық болсын, m – C-дегі тиімді бөлгіш, S – m-нің тірегі, ал P – S-де жоқ C-дегі бекітілген негіз нүктесі. Жалпыланған Якоб Jm – коммутативтік алгебралық топ, C-ден Jm-ге f рационалдық картасымен: f, P-ні Jm-нің бірлік элементіне жібереді. f, S сыртында реттелген. Егер D – C-дегі g рационалды функциясының бөлгіші болса және g≡1 (mod m) болса, онда f(D) = 0. Сонымен қатар, Jm – бұл қасиеттері бар әмбебап топ, яғни C-ден жоғарыда аталған қасиеттері бар топқа кез келген рационалдық карта Jm арқылы бірегей түрде факторланады. Jm тобы негіз нүктесі P-нің таңдалуына тәуелді емес, бірақ P-ні өзгерту f картасын трансляция арқылы өзгертеді.
f takes P to the identity of Jm. f is regular outside S.
f(D) = 0 whenever D is the divisor of a rational function g on C such that g≡1 mod m.
Moreover Jm is the universal group with these properties, in the sense that any rational map from C to a group with the properties above factors uniquely through Jm. The group Jm does not depend on the choice of base point P, though changing P changes that map f by a translation.
Күрделі жалпыланған Якобиандар
Комплексті сандар аясында, жалпыланған Якобианның алгебралық құрылымы жалпыланған Якобианның аналитикалық құрылымын анықтайды, осылайша оны күрделі Лай тобына айналдырады. Жалпыланған Якобианның негізіндегі аналитикалық кіші топты былай сипаттауға болады. (Бұл әрқашан алгебралық құрылымды анықтамайды, себебі екі изоморфты емес коммутативті алгебралық топтар аналитикалық топтар ретінде изоморфты болуы мүмкін.) C қисығын, тиімді бөлгіші m және тірегі S деп есептейік. 1 цикл бойынша 1-форманың интегралы арқылы туындайтын, гомология тобы H1(C − S)-тен кешенді векторлық кеңістік Ω(−m)-ның екілігі Ω(−m)*-қа табиғи бейнелеу бар (m-де полюстері бар 1-формалар). Аналитикалық жалпыланған Якобиан – бұл квозиент тобы: Ω(−m)*/H1(C − S).