Введение
другие обобщения якобианов
В алгебраической геометрии обобщенный якобиан — это коммутативная алгебраическая группа, ассоциированная с кривой с делителем, обобщающая якобианское многообразие полной кривой. Они были введены Максвеллом Розенлихом в 1954 году и могут использоваться для изучения разветвленных покрытий кривой с абелевой группой Галуа. Обобщенные якобианы кривой являются расширениями якобиана кривой коммутативной аффинной алгебраической группой, предоставляя нетривиальные примеры теоремы о структуре Шевалье.
In algebraic geometry a generalized Jacobian is a commutative algebraic group associated to a curve with a divisor, generalizing the Jacobian variety of a complete curve. They were introduced by Maxwell Rosenlicht in 1954, and can be used to study ramified coverings of a curve, with abelian Galois group. Generalized Jacobians of a curve are extensions of the Jacobian of the curve by a commutative affine algebraic group, giving nontrivial examples of Chevalley's structure theorem.
Определение
Предположим, что C — полная несингулярная кривая, m — эффективный делитель на C, S — носитель m, а P — фиксированная базовая точка на C, не лежащая в S. Обобщенный якобиан Jm — коммутативная алгебраическая группа с рациональным отображением f из C в Jm, удовлетворяющим следующим условиям:
f отображает P в единичный элемент Jm. f регулярна вне S.
f(D) = 0 всякий раз, когда D — делитель рациональной функции g на C, такой что g ≡ 1 (mod m).
Более того, Jm — универсальная группа с этими свойствами, в том смысле, что любое рациональное отображение из C в группу, обладающую вышеуказанными свойствами, однозначно факторизуется через Jm. Группа Jm не зависит от выбора базовой точки P, хотя изменение P изменяет отображение f на сдвиг.
f takes P to the identity of Jm. f is regular outside S.
f(D) = 0 whenever D is the divisor of a rational function g on C such that g≡1 mod m.
Moreover Jm is the universal group with these properties, in the sense that any rational map from C to a group with the properties above factors uniquely through Jm. The group Jm does not depend on the choice of base point P, though changing P changes that map f by a translation.
Комплексные генерализованные Якобианцы
Над комплексными числами алгебраическая структура обобщенного якобиана определяет аналитическую структуру обобщенного якобиана, делая его комплексной группой Ли. Аналитическая подгруппа, лежащая в основе обобщенного якобиана, может быть описана следующим образом. (Это не всегда определяет алгебраическую структуру, поскольку две неизоморфные коммутативные алгебраические группы могут быть изоморфными как аналитические группы.) Пусть C – кривая с эффективным делителем m с носителем S. Существует естественное отображение из гомологической группы H1(C – S) в двойственное пространство Ω(−m)* комплексного векторного пространства Ω(−m) (1-формы с полюсами в m), индуцированное интегралом 1-формы по 1-циклу. Аналитический обобщенный якобиан является тогда факторгруппой Ω(−m)*/H1(C – S).