Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Беттердің математикалық жіктелуі
Mathematical classification of surfaces
Математикада Энрикс-Кодайра жіктелуі ықшам кешен беттерді он классқа бөледі, олардың әрқайсысы модульдік кеңістікпен параметрленеді. Көптеген класс үшін модульдік кеңістіктер жақсы түсініледі, бірақ жалпы типтегі беттер класы үшін модульдік кеңістіктерді нақты сипаттау өте қиын болып көрінеді, дегенмен кейбір компоненттері белгілі. Макс Нотер алгебралық беттерді жүйелі зерттеуді бастады, ал Гвидо Кастельнуово жіктелудің маңызды бөліктерін дәлелдеді. кешен проекциялық беттердің жіктелуін сипаттады. Кейіннен ол жіктелуді алгебралық емес ықшам беттерді қосу үшін кеңейтті. Оң сипаттағы беттердің ұқсас жіктелуі басталды және аяқталды; ол 0 сипаттағы проекциялық жағдайға ұқсас, бірақ 2 сипатта бірегей және суперасингулярлық Энрикс беттері, ал 2 және 3 сипатта квазигиперэллиптік беттер пайда болады.
In mathematics, the Enriques–Kodaira classification groups compact complex surfaces into ten classes, each parametrized by a moduli space. For most of the classes the moduli spaces are well understood, but for the class of surfaces of general type the moduli spaces seem too complicated to describe explicitly, though some components are known. Max Noether began the systematic study of algebraic surfaces, and Guido Castelnuovo proved important parts of the classification. described the classification of complex projective surfaces. later extended the classification to include non algebraic compact surfaces. The analogous classification of surfaces in positive characteristic was begun by and completed by ; it is similar to the characteristic 0 projective case, except that one also gets singular and supersingular Enriques surfaces in characteristic 2, and quasi hyperelliptic surfaces in characteristics 2 and 3.
Жіктеу туралы мәлімдеме
Энрикес-Кодайраның компактты күрделі беттер жіктелуі бойынша, әрбір жеке емес минималды компактты күрделі бет осы бетте көрсетілген 10 типтің біріне жатады; яғни, ол рационалды, басқарылатын (жынысы > 0), VII типті, K3, Энрикес, Кодайра, торикалық, гипереллиптік, дұрыс квазиэллиптік немесе жалпы типтегі беттердің бірі болып табылады. Жалпы типтен басқа 9 классқа жататын беттердің барлық беттердің қалай көрінетіні туралы толық сипаттама бар (VII класс үшін бұл 2024 жылы әлі дәлелденбеген жаһандық сфералық қабық болжамына байланысты). Жалпы типтегі беттердің нақты жіктелуі туралы көп нәрсе белгілі емес, бірақ көптеген мысалдар табылды. Оң сипаттамадағы алгебралық беттердің жіктелуі (, ) 0 сипаттамадағы алгебралық беттердің жіктелуіне ұқсас, бірақ Кодайра беттері немесе VII типті беттер жоқ. 2 сипаттамада Энрикес беттерінің, ал 2 және 3 сипаттамаларында гипереллиптік беттердің қосымша отбасылары бар. Сондай-ақ, 2 және 3 сипаттамаларында Кодайра өлшемі 1 болғанда квазиэллиптік фибрацияларға да рұқсат етіледі. Бұл қосымша отбасыларды былай түсінуге болады: 0 сипаттамасында бұл беттер шекті топтар бойынша беттердің бөлігі болып табылады, бірақ шекті сипаттамаларда эталь емес шекті топтық схемалар бойынша бөлуге де болады. Оскар Зариски оң сипаттағы унирационалды, бірақ рационалды емес беттерді құрастырды, олар ажырамас кеңейтулерден (Зариски беттері) алынған. Оң сипаттамада Серре көрсеткендей , ал Игуза олар тең болған жағдайда да бұзылыстан үлкен болуы мүмкін екенін көрсетті (Пикард әртүрлілігінің өлшемі).
The Enriques–Kodaira classification of compact complex surfaces states that every nonsingular minimal compact complex surface is of exactly one of the 10 types listed on this page; in other words, it is one of the rational, ruled (genus > 0), type VII, K3, Enriques, Kodaira, toric, hyperelliptic, properly quasi elliptic, or general type surfaces. For the 9 classes of surfaces other than general type, there is a fairly complete description of what all the surfaces look like (which for class VII depends on the global spherical shell conjecture, still unproved in 2024). For surfaces of general type not much is known about their explicit classification, though many examples have been found. The classification of algebraic surfaces in positive characteristic (, ) is similar to that of algebraic surfaces in characteristic 0, except that there are no Kodaira surfaces or surfaces of type VII, and there are some extra families of Enriques surfaces in characteristic 2, and hyperelliptic surfaces in characteristics 2 and 3, and in Kodaira dimension 1 in characteristics 2 and 3 one also allows quasielliptic fibrations. These extra families can be understood as follows: In characteristic 0 these surfaces are the quotients of surfaces by finite groups, but in finite characteristics it is also possible to take quotients by finite group schemes that are not étale. Oscar Zariski constructed some surfaces in positive characteristic that are unirational but not rational, derived from inseparable extensions (Zariski surfaces). In positive characteristic Serre showed that may differ from , and Igusa showed that even when they are equal they may be greater than the irregularity (the dimension of the Picard variety).
Басқа инварианттар
Классификацияда жиі қолданылмайтын компактты күрделі беттердің тағы да инварианттары бар. Оларға бөлгіштердің сызықтық эквиваленттілік бойынша Picard тобы Pic(X), оның бөліндісі Néron–Severi тобы NS(X) Пикард саны ρ-мен берілген рангі, фундаменталды топ π1 және интегралды гомология мен кохомология топтары сияқты топологиялық инварианттар, сондай-ақ Seiberg–Witten инварианттары мен Donaldson инварианттары сияқты жатқан тегіс 4-көптүрліліктің инварианттары жатады.
There are further invariants of compact complex surfaces that are not used so much in the classification. These include algebraic invariants such as the Picard group Pic(X) of divisors modulo linear equivalence, its quotient the Néron–Severi group NS(X) with rank the Picard number ρ, topological invariants such as the fundamental group π1 and the integral homology and cohomology groups, and invariants of the underlying smooth 4 manifold such as the Seiberg–Witten invariants and Donaldson invariants.
Минималды модельдер және көбейту
Кез келген бет бирационалдық түрде емес-сингуляр бетке тең, сондықтан көптеген мақсаттар үшін емес-сингуляр беттерді жіктеу жеткілікті. Беттегі кез келген нүкте үшін, біз осы нүктені көтеру арқылы жаңа бет құра аламыз, бұл шамамен оны проективтік түзудің көшірмесімен алмастыруды білдіреді. Осы мақала мақсатында, егер басқа емес-сингуляр беттен нүктені көтеру арқылы алынбаса, онда емес-сингуляр бет X минималды деп аталады. Кастельнуовоның қысқарту теоремасы бойынша, бұл X-те (-1) қисықтарының (тегіс рационалдық қисықтар, өзіндік қиылысу саны -1) жоқ екендігіне тең. (Минималды модельдер бағдарламасының қазіргі заманғы терминологиясында, егер оның канондық түзу шоғыры KX nef болса, X тегіс проективтік беті минималды деп аталады. Тегіс проективтік беттің осы күшті мағынадағы минималды моделі бар, егер және тек қана оның Кодайра өлшемі теріс емес болса.) Кез келген X беті минималды емес-сингуляр бетке бирационалдық түрде тең, және егер X-тің Кодайра өлшемі кемінде 0 болса немесе алгебралық емес болса, бұл минималды емес-сингуляр бет бірегей болады. Кодайра өлшеміндегі алгебралық беттер бірнеше минималды емес-сингуляр беттерге бирационалдық түрде тең болуы мүмкін, бірақ осы минималды беттер арасындағы қатынасты сипаттау оңай. Мысалы, бір нүктеде көтерілген P1 × P1, екі рет көтерілген P2-ге изоморфты. Демек, барлық ықшам кешенді беттерді бирационалдық изоморфизмге дейін жіктеу үшін минималды емес-сингуляр беттерді жіктеу жеткілікті.
Any surface is birational to a non singular surface, so for most purposes it is enough to classify the non singular surfaces. Given any point on a surface, we can form a new surface by blowing up this point, which means roughly that we replace it by a copy of the projective line. For the purpose of this article, a non singular surface X is called minimal if it cannot be obtained from another non singular surface by blowing up a point. By Castelnuovo's contraction theorem, this is equivalent to saying that X has no (−1) curves (smooth rational curves with self intersection number −1). (In the more modern terminology of the minimal model program, a smooth projective surface X would be called minimal if its canonical line bundle KX is nef. A smooth projective surface has a minimal model in that stronger sense if and only if its Kodaira dimension is nonnegative.) Every surface X is birational to a minimal non singular surface, and this minimal non singular surface is unique if X has Kodaira dimension at least 0 or is not algebraic. Algebraic surfaces of Kodaira dimension may be birational to more than one minimal non singular surface, but it is easy to describe the relation between these minimal surfaces. For example, P1 × P1 blown up at a point is isomorphic to P2 blown up twice. So to classify all compact complex surfaces up to birational isomorphism it is (more or less) enough to classify the minimal non singular ones.
Кодайра өлшемінің беттері −∞
Кодайра өлшемі q-ға ие алгебралық беттерді келесідей жіктеуге болады. Егер q > 0 болса, онда Албандық сортына жүргізілетін бейнелеудің талшықтары проекциялық түзулер болады (егер бет минималды болса), сондықтан бұл беттік билік ететін беттік болып табылады. Егер q = 0 болса, бұл дәлел жұмыс істемейді, себебі Албандық сорты нүкте болып табылады, бірақ осы жағдайда Кастельнуово теоремасы беттің рационалды екенін көрсетеді. Алгебралық емес беттер үшін Кодайра VII тип деп аталатын қосымша беттер класын тапты, олар әлі толыққанды түсінілмеген.
Algebraic surfaces of Kodaira dimension can be classified as follows. If q > 0 then the map to the Albanese variety has fibers that are projective lines (if the surface is minimal) so the surface is a ruled surface. If q = 0 this argument does not work as the Albanese variety is a point, but in this case Castelnuovo's theorem implies that the surface is rational. For non algebraic surfaces Kodaira found an extra class of surfaces, called type VII, which are still not well understood.