Введение

Математическая классификация поверхностей

В математике классификация Энрикеса — Кодайры группирует компактные комплексные поверхности в десять классов, каждый из которых параметризуется пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо изучены, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей представляются слишком сложными для явного описания, хотя некоторые компоненты известны. Макс Нотер начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а Гидо Кастельнуово доказал важные части классификации. [Имя] описал классификацию комплексных проективных поверхностей. Позднее [Имя] расширил классификацию, включив в нее неалгебраические компактные поверхности. Аналогичная классификация поверхностей в положительной характеристике была начата [Имя] и завершена [Имя]; она похожа на проективный случай характеристики 0, за исключением того, что в характеристике 2 также возникают сингулярные и суперсингулярные поверхности Энрикеса, а в характеристиках 2 и 3 — квазигиперэллиптические поверхности.

Описание классификации

Классификация компактных комплексных поверхностей Энрикеса–Кодайры утверждает, что каждая несингулярная минимальная компактная комплексная поверхность относится ровно к одному из 10 типов, перечисленных на этой странице; иными словами, это одна из рациональных, управляемых (род > 0), типа VII, K3, Энрикеса, Кодайры, торических, гипереллиптических, собственно квазиэллиптических или поверхностей общего типа. Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует достаточно полное описание их структуры (которое для класса VII зависит от глобальной сферической гипотезы оболочки, до сих пор не доказанной в 2024 году). О поверхностях общего типа известно немного об их явной классификации, хотя было найдено множество примеров. Классификация алгебраических поверхностей в положительной характеристике (, ) аналогична классификации алгебраических поверхностей в характеристике 0, за исключением того, что там отсутствуют поверхности Кодайры и поверхности типа VII, а также существуют дополнительные семейства поверхностей Энрикеса в характеристике 2 и гипереллиптических поверхностей в характеристиках 2 и 3. Кроме того, в кодайровской размерности 1 в характеристиках 2 и 3 допускаются квазиэллиптические расслоения. Эти дополнительные семейства можно объяснить следующим образом: в характеристике 0 эти поверхности являются частными от деления поверхностей на конечные группы, но в конечных характеристиках также возможно деление по схемам конечных групп, которые не являются этальными. Оскар Зариски построил некоторые поверхности в положительной характеристике, которые унирациональны, но не рациональны, полученные из неразделимых расширений (поверхности Зариски). В положительной характеристике Серр показал, что может отличаться от , а Игуса показал, что даже при их равенстве оно может быть больше нерегулярности (размерности многообразия Пикара).

Другие инварианты

Существуют и другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не так часто используются в классификации. К ним относятся алгебраические инварианты, такие как группа Пикара Pic(X) дивизоров по модулю линейной эквивалентности, ее фактор-группа – группа Нерона-Севери NS(X) с рангом, равным числу Пикара ρ, топологические инварианты, такие как фундаментальная группа π1 и группы целочисленной гомологии и когомологии, а также инварианты лежащего в основе гладкого 4-многообразия, такие как инварианты Зейберга-Виттена и инварианты Дональдсона.

Минимальные модели и взрыв

Любая поверхность бирациональна к несингулярной поверхности, поэтому для большинства целей достаточно классифицировать несингулярные поверхности. Для любой точки на поверхности можно построить новую поверхность, взрывая эту точку, что грубо говоря означает замену её копией проективной прямой. Для целей данной статьи несингулярная поверхность X называется минимальной, если её нельзя получить из другой несингулярной поверхности взрывом точки. По теореме о стягивании Кастельнуово, это эквивалентно тому, что у X нет (-1)-кривых (гладких рациональных кривых с числом самопересечений −1). (В более современной терминологии минимальной модели, гладкую проективную поверхность X называют минимальной, если её каноническое расслоение KX является nef. Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более строгом смысле тогда и только тогда, когда её размерность Кодайры неотрицательна.) Каждая поверхность X бирациональна к минимальной несингулярной поверхности, и эта минимальная несингулярная поверхность единственна, если размерность Кодайры X не меньше 0 или X не является алгебраической. Алгебраические поверхности с размерностью Кодайры могут быть бирациональны более чем одной минимальной несингулярной поверхности, но связь между этими минимальными поверхностями легко описать. Например, P¹ × P¹ взрытая в точке, изоморфна P² взрытой дважды. Таким образом, для классификации всех компактных комплексных поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма (в большей или меньшей степени) достаточно классифицировать минимальные несингулярные поверхности.

Поверхности измерения Кодайры −∞

Алгебраические поверхности кодайровской размерности могут быть классифицированы следующим образом. Если q > 0, то отображение на албанезеву многообразие имеет волокна, являющиеся проективными прямыми (если поверхность минимальна), следовательно, поверхность является управляемой поверхностью. Если q = 0, этот аргумент неприменим, поскольку албанезева многообразие является точкой, но в этом случае теорема Кастельнуово подразумевает, что поверхность рациональна. Для неалгебраических поверхностей Кодайра выделил дополнительный класс поверхностей, называемый типом VII, которые до сих пор недостаточно изучены.