Введение
Полиэдр с 20 правильными треугольными гранями
В геометрии, правильный икосаэдр (или просто икосаэдр) — это выпуклый полиэдр, который можно построить из пятиугольной антипризмы путем присоединения двух пятиугольных пирамид с правильными гранями к каждой из её пятиугольных граней, или путём нанесения точек на куб. Полученный полиэдр имеет 20 равносторонних треугольников в качестве граней, 30 рёбер и 12 вершин. Это пример платонова тела и дельтаэдра. Икосаэдрический граф представляет собой скелет правильного икосаэдра. Многие полиэдры строятся на основе правильного икосаэдра. Например, большинство полиэдров Кеплера — Пуансо строятся методом фасетирования. Некоторые из тел Джонсона можно построить путём удаления пятиугольных пирамид. Правильный икосаэдр имеет множество связей с другими платоновыми телами, одним из них является правильный додекаэдр как его двойственный полиэдр, и имеет исторический контекст в сравнительной геометрии. Он также имеет множество связей с другими политопами. В природе можно встретить правильный икосаэдр, например, вирусы с икосаэдрической формой оболочки и радиолярии. Другие применения правильного икосаэдра включают использование его развёртки в картографии, двадцатигранные игральные кости, которые могли быть найдены в древности, и ролевые игры.
Размер
Инсфера выпуклого многогранника — это сфера внутри многогранника, касающаяся каждой его грани. Циркумсфера выпуклого многогранника — это сфера, содержащая многогранник и касающаяся каждого ребра. Мсфера выпуклого многогранника — это сфера, касающаяся каждого его ребра. Следовательно, учитывая, что длина ребра правильного икосаэдра, радиус инсферы (инрадиус), радиус циркумсферы (циркумрадиус) и радиус мсферы (мидрадиус) соответственно:
Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней. Таким образом, площадь поверхности правильного икосаэдра равна площади 20 равносторонних треугольников. Объем правильного икосаэдра получается путем вычисления объема всех пирамид с основанием в виде треугольных граней и высотой, равной расстоянию от центроида треугольной грани до центра внутри правильного икосаэдра, то есть циркумрадиусу правильного икосаэдра. Проблема, восходящая к древним грекам, заключается в определении того, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Эту проблему решали, среди прочих, Герон, Папп и Фибоначчи. Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат о том, что отношение объемов этих двух фигур равно отношению их площадей поверхности. Обе величины имеют формулы, включающие золотое сечение, но возведенные в разные степени. Как оказалось, икосаэдр занимает меньшую часть объема сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). Диэдрический угол правильного икосаэдра можно вычислить, сложив углы пятиугольных пирамид с правильными гранями и пятиугольной антипризмы. Диэдрический угол пятиугольной антипризмы и пятиугольной пирамиды между двумя смежными треугольными гранями приблизительно равен. Диэдрический угол пятиугольной антипризмы между пятиугольником и треугольником равен , а диэдрический угол пятиугольной пирамиды между теми же гранями равен . Таким образом, для правильного икосаэдра диэдрический угол между двумя смежными треугольниками, на ребре, где прикреплены пятиугольная пирамида и пятиугольная антипризма, равен .
Симметрия
Группа вращательной симметрии правильного икосаэдра изоморфна группе перестановок на пяти элементах (или группе чередующихся перестановок на пяти элементах). Эта неабелева простая группа является единственной нетривиальной нормальной подгруппой симметрической группы на пяти элементах. Поскольку группа Галуа общего уравнения пятой степени изоморфна симметрической группе на пяти элементах, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение пятой степени не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля — Руффини опирается на этот простой факт, а Феликс Клейн написал книгу, в которой использовал теорию симметрий икосаэдра для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени. Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) называется полной икосаэдрической группой. Она изоморфна произведению группы вращательной симметрии и группы второго порядка, порожденной отражением относительно центра икосаэдра.
Икосаэдрический график
Каждый платонический граф, включая икосаэдрический граф, является полиэдрическим графом. Это означает, что они являются планарными графами, графами, которые можно изобразить на плоскости без пересечения рёбер; и они 3-связны, то есть удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Согласно теореме Штейница, икосаэдрический граф, обладающий этими свойствами, представляет собой скелет правильного икосаэдра. Икосаэдрический граф является гамильтоновым, то есть он содержит гамильтонов цикл, или цикл, проходящий через каждую вершину ровно один раз.
В других платонических твердых веществах
Помимо сравнения размеров правильного икосаэдра и правильного додекаэдра, они являются двойственными друг другу. Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, поместив его вершины в центры граней додекаэдра, и наоборот. Икосаэдр можно вписать в октаэдр, поместив его 12 вершин на 12 ребрах октаэдра таким образом, чтобы они делили каждое ребро на два отрезка в золотом отношении. Поскольку отрезки в золотом отношении неравны, существует пять различных способов сделать это последовательно, поэтому в каждый октаэдр можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Икосаэдр с длиной ребра может быть вписан в куб с длиной ребра 1, разместив шесть его ребер (3 ортогональные пары, расположенные напротив друг друга) на квадратных гранях куба, центрированных на центрах граней и параллельных или перпендикулярных краям квадратов. Поскольку ребер икосаэдра в пять раз больше, чем граней куба, существует пять способов сделать это последовательно, так что в каждый куб можно вписать пять непересекающихся икосаэдров. Длины ребер куба и вписанного икосаэдра находятся в золотом отношении.
Звездное положение
Икосаэдр имеет большое количество звездчатых форм. Для правильного икосаэдра было идентифицировано 59 звездчатых многогранников. Первая форма – сам икосаэдр. Один из них – правильный полиэдр Кеплера-Пуансо. Три – правильные составные многогранники. + 21 из 59 звездчатых многогранников. Грани икосаэдра вытянуты наружу, поскольку плоскости пересекаются, определяя области в пространстве, как показано на этой диаграмме звездчатых пересечений в одной плоскости.
Фасеты
Малый звёздный додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр — это три различные формы, полученные из правильного икосаэдра путём изменения его граней. У них общее расположение вершин. Все они имеют 30 рёбер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение рёбер, но различаются по граням (треугольники против пятиугольников), как и малый звёздный додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы против треугольников).
Уменьшение
Твердые тела Джонсона — это многогранники, все грани которых являются правильными, но не однородными. Это означает, что они не включают в себя архимедовы тела, тела Каталана, призмы и антипризмы. Некоторые из них строятся путем удаления части правильного икосаэдра, процесс, известный как уменьшение (или усечение). К ним относятся гироудлинённая пятиугольная пирамида, метабидиминированный икосаэдр и тридиминированный икосаэдр, из которых удалены одна, две и три пятиугольные пирамиды соответственно. Аналогичный рассечённый правильный икосаэдр имеет усечённые два смежных vertexа, в результате чего образуются две трапециевидные грани, а бифастигий имеет удалённые два противоположных набора vertexов и четыре трапециевидные грани.
Связь с 600-клеточными и другими 4-политопами
Икосаэдр является размерностным аналогом ячейки 600, правильного четырехмерного политопа. Ячейка 600 имеет икосаэдрические поперечные сечения двух размеров, и каждая из ее 120 вершин представляет собой икосаэдрическую пирамиду; икосаэдр является вершинной фигурой ячейки 600. Ячейка 600 с единичным радиусом имеет тетраэдрические ячейки с длиной ребра , 20 из которых сходятся в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду (четырехмерную пирамиду с икосаэдром в качестве основания). Таким образом, ячейка 600 содержит 120 икосаэдров с длиной ребра . Ячейка 600 также содержит кубы и октаэдры с длиной ребра 1 в качестве внутренних элементов, образованных ее хордами единичной длины. В ячейке радиуса 120 (другой правильный четырехмерный политоп, который является одновременно двойственным к ячейке 600 и составной из 5 ячеек 600) мы находим все три типа вписанных икосаэдров (в додекаэдре, в октаэдре и в кубе). Полуправильный четырехмерный политоп, ячейка 24 снуба, имеет икосаэдрические ячейки.
Отношения к другим однородным политопам
Как уже упоминалось выше, регулярный икосаэдр уникален среди платонических тел тем, что имеет двугранный угол, приблизительно равный 1=. Таким образом, подобно тому, как шестиугольники имеют углы не менее 120° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы как минимум три грани сходились в вершине, оставляя положительный дефект для складывания в трех измерениях, икосаэдры не могут использоваться в качестве ячеек выпуклого правильного полихора, потому что, аналогично, как минимум три ячейки должны сходиться на ребре, оставляя положительный дефект для складывания в четырех измерениях (в общем случае для выпуклого политопа в n измерениях, как минимум три грани должны сходиться в вершине, оставляя положительный дефект для складывания в n-мерном пространстве). Однако, в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры могут использоваться в качестве ячеек в полуправильных полихорах (например, в snub 24-ячейке), подобно тому, как шестиугольники могут использоваться в качестве граней в полуправильных многогранниках (например, в усеченном икосаэдре). Наконец, невыпуклые политопы не предъявляют таких же строгих требований, как выпуклые политопы, и икосаэдры действительно являются ячейками икозаэдрической 120-ячейки, одного из десяти невыпуклых правильных полихоров. Существуют искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, тем не менее, являются вершинно-однородными. Они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны snub-кубу и snub-додекаэдру, включая некоторые формы, которые являются хиральными, а некоторые обладают 1= симметрией, то есть имеют плоскости симметрии, отличные от тетраэдра.
Применение и его естественная форма
Кости – это распространенные предметы с различными многогранниками, одним из которых является правильный икосаэдр. Двадцатигранные кости были найдены во многих древних культурах. Одним из примеров являются кости из эпохи Птолемеев в Египте, на гранях которых позднее, в греческий и римский периоды, были выгравированы греческие буквы. Другой пример был обнаружен в сокровищнице Типу Султана, изготовленный из золота и с цифрами на каждой грани. В ряде ролевых игр, таких как Dungeons & Dragons, двадцатигранная кость (обозначаемая как d20) обычно используется для определения успеха или неудачи действия. Она может быть пронумерована от "0" до "9" дважды, в таком случае она обычно служит десятигранной костью (d10); большинство современных версий пронумерованы от "1" до "20". Scattergories – еще одна настольная игра, в которой игроки называют категории, указанные на карточке, за отведенное время. Выбор начальных букв для этих категорий определяется буквами на гранях двадцатигранной кости. Правильный икосаэдр также встречается во многих областях науки. В вирусологии вирусы герпеса имеют икосаэдрические капсиды. Внешняя белковая оболочка ВИЧ заключена в правильный икосаэдр, как и головка типичного миовируса. Несколько видов радиолярий, открытых Эрнстом Геккелем, описывали свои раковины как имеющие форму различных правильных многогранников, одним из которых является Circogonia icosahedra, чей скелет имеет форму правильного икосаэдра. В химии, клазо-карбораны – это соединения, форма которых напоминает правильный икосаэдр. Икосаэдрическое двойникование также встречается в кристаллах, особенно в наночастицах. Многие бориды и аллотропные модификации бора, такие как α и β ромбоэдрические, содержат бор B12 в форме икосаэдра в качестве базовой структурной единицы. В картографии Р. Бакминстер Фуллер использовал развертку правильного икосаэдра для создания карты, известной как карта Димаксион, путем разделения развертки на треугольники, последующего вычисления сетки на поверхности Земли и переноса результатов со сферы на многогранник. Эта проекция была создана, когда Фуллер осознал, что Гренландия меньше Южной Америки. В проблеме Томсона, касающейся конфигурации с минимальной энергией заряженных частиц на сфере, и в проблеме Таммеса по построению сферического кода, максимизирующего минимальное расстояние между точками, известное минимальное решение располагает точки в вершинах правильного икосаэдра, вписанного в сферу. Эта конфигурация является оптимальной для проблемы Таммеса, но строгое решение для данной постановки проблемы Томсона неизвестно.