Кіріспе
Математикада күрделі тор — күрделі көптүрлілік M-нің белгілі бір түрі, оның негізгі тегіс көптүрлілігі дәстүрлі мағынада тор (яғни, кейбір N шеңбердің декарт көбейтіндісі). Мұнда N — 2n жұп саны болуы керек, мұнда n — M-нің күрделі өлшемі. Барлық мұндай күрделі құрылымдарды келесідей алуға болады: Cn-ге изоморфты векторлық кеңістікте Λ торды алыңыз, оны нақты векторлық кеңістік ретінде қарастырыңыз; содан кейін квотиенттік топ — бұл ықшам күрделі көптүрлілік. Барлық күрделі торлар, изоморфизмге дейін, осылай алынады. n = 1 үшін бұл эллиптік қисықтардың классикалық периодтық тор құрылысы. n > 1 үшін Бернхард Риман күрделі тордың алгебралық сан алуандығы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды тапты; сан алуандығы күрделі проективтік кеңістікке енгізілуі мүмкін және олар абельдік сан алуандықтары болып табылады. Нақты проективтік енгізулер күрделі (n > 1 болғанда абельдік сан алуандықтарды анықтайтын теңдеулерді қараңыз) және бірнеше күрделі айнымалылардың (белгілі модульмен) тета функциялары теориясымен тікелей байланысты. n = 1 үшін текше қисық сипаттамасы сияқты қарапайым нәрсе жоқ. Компьютерлік алгебра кішкентай n үшін жағдайларды жақсы шеше алады. Чоу теоремасы бойынша, абельдік сан алуандықтарынан басқа ешқандай күрделі тор проективтік кеңістікке «сыйымды» емес.
All such complex structures can be obtained as follows: take a lattice Λ in a vector space V isomorphic to Cn considered as real vector space; then the quotient group
is a compact complex manifold. All complex tori, up to isomorphism, are obtained in this way. For n = 1 this is the classical period lattice construction of elliptic curves. For n > 1 Bernhard Riemann found necessary and sufficient conditions for a complex torus to be an algebraic variety; those that are varieties can be embedded into complex projective space, and are the abelian varieties. The actual projective embeddings are complicated (see equations defining abelian varieties) when n > 1, and are really coextensive with the theory of theta functions of several complex variables (with fixed modulus). There is nothing as simple as the cubic curve description for n = 1. Computer algebra can handle cases for small n reasonably well. By Chow's theorem, no complex torus other than the abelian varieties can 'fit' into projective space.
Анықтама
Күрделі торилерді анықтаудың бір жолы – бұл ықшам байланысқан күрделі Лай тобы. Бұл – құрылымдық карталары күрделі көптүрліліктердің голоморфты карталары болатын Лай топтары. Осылайша, барлық мұндай ықшам байланысқан Лай топтары коммутативті болып келеді және олар өздерінің Лай алгебрасының фактор-тобымен изоморфты, ал оның жабу картасы Лай алгебрасының экспоненциалдық картасы болып табылады. Бұл картаның ядросы тор болып табылады, ал керісінше, егер күрделі векторлық кеңістік пен максималды рангі бар тор берілсе, онда олардың фактор-көптүрлігі күрделі Лай тобының құрылымын иеленеді, сонымен қатар ықшам және байланысқан болады. Бұл күрделі торилердің екі анықтамасы эквивалентті екенін көрсетеді.
Conversely, given a complex vector space and a lattice of maximal rank, the quotient complex manifold has a complex Lie group structure, and is also compact and connected. This implies the two definitions for complex tori are equivalent.
Абельдік сорттардың кезеңдік матрицалары
Проективті күрделі манифольд, демек алгебралық қисық сызықты алу үшін периодтық матрица Риманның билинейлік қатынастарын қосымша орындауы тиіс.