Введение
В математике, комплексный тор — это особый вид комплексного многообразия M, базовое гладкое многообразие которого является тором в обычном смысле (то есть декартовым произведением некоторого числа N окружностей). Здесь N должно быть четным числом 2n, где n — комплексная размерность M. Все такие комплексные структуры могут быть получены следующим образом: возьмите решетку Λ в векторном пространстве V, изоморфном Cn, рассматриваемом как вещественное векторное пространство; тогда фактор-группа
All such complex structures can be obtained as follows: take a lattice Λ in a vector space V isomorphic to Cn considered as real vector space; then the quotient group
is a compact complex manifold. All complex tori, up to isomorphism, are obtained in this way. For n = 1 this is the classical period lattice construction of elliptic curves. For n > 1 Bernhard Riemann found necessary and sufficient conditions for a complex torus to be an algebraic variety; those that are varieties can be embedded into complex projective space, and are the abelian varieties. The actual projective embeddings are complicated (see equations defining abelian varieties) when n > 1, and are really coextensive with the theory of theta functions of several complex variables (with fixed modulus). There is nothing as simple as the cubic curve description for n = 1. Computer algebra can handle cases for small n reasonably well. By Chow's theorem, no complex torus other than the abelian varieties can 'fit' into projective space.
является компактным комплексным многообразием. Все комплексные торы, с точностью до изоморфизма, получаются таким образом. Для n = 1 это классическое построение периода для эллиптических кривых. Для n > 1 Бернхард Риманн нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплексный тор был алгебраическим многообразием; те, которые являются многообразиями, могут быть вложены в комплексное проективное пространство и являются абелевыми многообразиями. Фактические проективные вложения сложны (см. уравнения, определяющие абелевы многообразия), когда n > 1, и тесно связаны с теорией тета-функций нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего столь же простого, как описание кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра может достаточно хорошо обрабатывать случаи для малых n. Согласно теореме Чоу, никакой комплексный тор, кроме абелевых многообразий, не может быть вложен в проективное пространство.
All such complex structures can be obtained as follows: take a lattice Λ in a vector space V isomorphic to Cn considered as real vector space; then the quotient group
is a compact complex manifold. All complex tori, up to isomorphism, are obtained in this way. For n = 1 this is the classical period lattice construction of elliptic curves. For n > 1 Bernhard Riemann found necessary and sufficient conditions for a complex torus to be an algebraic variety; those that are varieties can be embedded into complex projective space, and are the abelian varieties. The actual projective embeddings are complicated (see equations defining abelian varieties) when n > 1, and are really coextensive with the theory of theta functions of several complex variables (with fixed modulus). There is nothing as simple as the cubic curve description for n = 1. Computer algebra can handle cases for small n reasonably well. By Chow's theorem, no complex torus other than the abelian varieties can 'fit' into projective space.
Определение
Одним из способов определения комплексного тора является определение как компактной связной комплексной группы Ли. Это группы Ли, у которых структурные отображения являются голоморфными отображениями комплексных многообразий. Оказывается, что все такие компактные связные группы Ли коммутативны и изоморфны факторгруппе их алгебры Ли, покрывающим отображением которой является экспоненциальное отображение алгебры Ли в соответствующую ей группу Ли. Ядро этого отображения является решеткой, и наоборот, задано комплексное векторное пространство и решетка максимального ранга, фактор-комплексное многообразие имеет структуру комплексной группы Ли, а также является компактным и связным. Это означает, что два определения комплексных торов эквивалентны.
Conversely, given a complex vector space and a lattice of maximal rank, the quotient complex manifold has a complex Lie group structure, and is also compact and connected. This implies the two definitions for complex tori are equivalent.
Периодические матрицы абелевых разновидностей
Чтобы получить периодную матрицу, определяющую проективное комплексное многообразие, а значит и алгебраическое многообразие, периодная матрица должна дополнительно удовлетворять билинейным соотношениям Римана.