Гармониялық осциллятордан ауытқулар және ангармониялық осцилляторлар

Кіріспе

Физикалық жүйенің гармониялық тербелісші болудан ауытқуы – агармониялық тербелісшілер. Классикалық механикада агармониялық – жүйенің гармониялық тербелісші болудан ауытқуы. Гармоникалық қозғалыста тербелмейтін тербеліс агармоникалық тербеліс деп аталады, онда жүйені гармониялық тербеліске жуықтатуға болады және агармонияны бұзылу теориясын қолдану арқылы есептеуге болады. Егер агармониялық шамасы үлкен болса, басқа сандық әдістерді қолдану қажет. Шындығында, барлық тербелістік жүйелер агармониялық, бірақ тербелістің амплитудасы кішірек болған сайын, көпшілігі гармониялық тербелісшіге жақындайды. Нәтижесінде, жиіліктері ω және т.б. болатын тербелістер пайда болады, мұнда ω – тербелістің негізгі жиілігі. Сонымен қатар, жиілік гармоникалық тербелістердің жиілігінен ауытқыйды. Сондай-ақ, интермодуляция және комбинациялық тондарды қараңыз. Алғашқы жуықтау ретінде, жиілік ауысуы Δω тербеліс амплитудасының квадратына пропорционалды:

Табиғи жиіліктері ω₁, ω₂, … болатын тербелістер жүйесінде агармониялық қосымша жиіліктері ω₁ ± ω₂, ω₁ ± 2ω₂ және т.б. болатын тербелістерге әкеледі. Агармониялық резонанс қисығының энергия профилін де өзгертеді, бұл foldover эффектісі және супергармониялық резонанс сияқты қызықты құбылыстарға алып келеді.

Жалпы қағида

Осциллятор – бұл маятник, тондық спираль немесе дірілдейтін диатомдық молекула сияқты периодтық қозғалыспен сипатталатын физикалық жүйе. Математикалық тұрғыдан алғанда, осциллятордың ерекшелігі – жүйенің кез келген x координатасы үшін, x-ті экстремалды мәндерден ығыстырып, x-ті белгілі бір ортақ мәнге (x₀) қайтаратын күш болуында, бұл x-тің экстремалды мәндер арасында тербелуіне себеп болады. Мысалы, x маятниктің тыныштық күйінен (x=0) ауытқуын білдіруі мүмкін. x-тің абсолюттік шамасы артқан сайын, маятниктің салмағына әсер ететін және оны тыныштық күйіне қайтаратын қалпына келтіру күші де артады. Гармоникалық осцилляторларда қалпына келтіру күші x-тің табиғи x₀ орнынан ауытқуына пропорционал (және бағытымен қарама-қарсы) болады. Соның салдарынан туындайтын дифференциалдық теңдеу x-тің уақыт бойынша синусоидалық түрде тербелу керектігін көрсетеді, бұл жүйеге тән тербеліс периодымен сипатталады. x кез келген амплитудамен тербелуі мүмкін, бірақ оның периоды әрқашан бірдей болады. Агармониялық осцилляторлардың ерекшелігі – қалпына келтіру күшінің x ауытқуына сызықтық емес тәуелділігі. Осының салдарынан агармониялық осциллятордың тербеліс периоды оның тербеліс амплитудасына байланысты өзгеруі мүмкін. Агармониялық осцилляторлардың сызықтық еместігіне байланысты тербеліс жиілігі жүйенің ауытқуына қарай өзгеруі мүмкін. Бұл жиіліктегі өзгерістер энергияның негізгі тербеліс жиілігінен басқа жиіліктерге «параметрлік байланыс» деп аталатын процесс арқылы берілуіне әкеледі. Сызықтық емес қалпына келтіру күшін x-тің табиғи орнынан (x-x₀) ауытқуының функциясы F(x-x₀) ретінде қарастыра отырып, біз F-ті оның сызықтық жуықтауымен F₁ = F'(0) ⋅ (x-x₀) нөлдік ауытқуда алмастыра аламыз. F₁ функциясы сызықтық болғандықтан, ол қарапайым гармоникалық қозғалысты сипаттайды. Бұған қоса, бұл F₁ функциясы x-x₀ шамалы болғанда дәл болады. Сондықтан, тербелістер шамалы болған жағдайда, агармониялық қозғалысты гармоникалық қозғалыс ретінде жуықтауға болады.

An oscillator is a physical system characterized by periodic motion, such as a pendulum, tuning fork, or vibrating diatomic molecule. Mathematically speaking, the essential feature of an oscillator is that for some coordinate x of the system, a force whose magnitude depends on x will push x away from extreme values and back toward some central value x0, causing x to oscillate between extremes. For example, x may represent the displacement of a pendulum from its resting position 1=x=0. As the absolute value of x increases, so does the restoring force acting on the pendulums weight that pushes it back towards its resting position. In harmonic oscillators, the restoring force is proportional in magnitude (and opposite in direction) to the displacement of x from its natural position x0. The resulting differential equation implies that x must oscillate sinusoidally over time, with a period of oscillation that is inherent to the system. x may oscillate with any amplitude, but will always have the same period. Anharmonic oscillators, however, are characterized by the nonlinear dependence of the restorative force on the displacement x. Consequently, the anharmonic oscillator's period of oscillation may depend on its amplitude of oscillation. As a result of the nonlinearity of anharmonic oscillators, the vibration frequency can change, depending upon the system's displacement. These changes in the vibration frequency result in energy being coupled from the fundamental vibration frequency to other frequencies through a process known as parametric coupling. Treating the nonlinear restorative force as a function F(x − x0) of the displacement of x from its natural position, we may replace F by its linear approximation 1=F1 = F′(0) ⋅ (x−x0) at zero displacement. The approximating function F1 is linear, so it will describe simple harmonic motion. Further, this function F1 is accurate when x − x0 is small. For this reason, anharmonic motion can be approximated as harmonic motion as long as the oscillations are small.

Физикадағы мысалдар

Физикалық әлемде сызықтық емес масса-серіппе жүйесінен басқа, агармониялық осцилляторлар ретінде модельдеуге болатын көптеген жүйелер бар. Мысалы, оң зарядталған ядродан және оны қоршап тұрған теріс зарядталған электрондық бұлттан тұратын атом, электр өрісі болғанда ядроның массалық центрі мен электрондық бұлт арасында орын ауыстыруға ұшырайды. Бұл орын ауыстырудың шамасы, электрлік дипольдық момент деп аталады, кішкентай өрістер үшін қолданылатын өріске сызықтық байланысты, бірақ өрістің күші артқан сайын, өріс-дипольдық момент арақатынасы механикалық жүйедегідей сызықтық емес болады. Агармониялық осцилляторлардың басқа мысалдары: үлкен бұрышты маятник; тепе-теңдіксіз жартылай өткізгіштер, олар жоғары ыстық тасымалдаушы концентрациясына ие және тасымалдаушылардың тиімді массасына байланысты әртүрлі сызықтық емес мінез-құлықтарды көрсетеді; және плазманың агармониясына негізделген сызықтық емес мінез-құлықтарды көрсететін ионосфералық плазмалар, сондай-ақ көлденең тербелістің жолдары. Шындығында, барлық осцилляторлар олардың қоздырғыш амплитудасы белгілі бір шектен асқанда агармониялық болады, сондықтан олардың мінез-құлқын сипаттау үшін сызықтық емес қозғалыс теңдеулерін қолдану қажет. Агармониялық жүйелер кристалдық және молекулалық тербелістерде, кванттық осцилляцияларда және акустикада маңызды рөл атқарады. Молекуладағы немесе қатты денедегі атомдар тепе-теңдік күйінен ауытқып тербеледі. Бұл тербелістердің амплитудасы кішкентай болғанда, оларды гармоникалық осцилляторлармен сипаттауға болады. Дегенмен, тербеліс амплитудасы үлкен болғанда, мысалы, жоғары температурада, агармониялық маңызды болады. Агармониялықтың әсерінің мысалы – қатты денелердің жылулық кеңеюі, ол әдетте квазигармоникалық жуықтау шеңберінде зерттеледі. Кванттық механиканы қолдана отырып тербелісті агармониялық жүйелерді зерттеу есептеу жағынан қиын міндет, өйткені агармониялық әр осциллятордың сезінетін потенциалын күрделендіріп қана қоймай, сонымен қатар осцилляторлар арасындағы байланысты күшейтеді. Молекулалар мен қатты денелердегі атомдардың сезінетін агармониялық потенциалын есептеу үшін тығыздық функционалдық теориясы сияқты бірінші принциптер әдістерін қолдануға болады. Агармониялық тербеліс энергиясын атомдардың агармониялық тербеліс теңдеулерін орташа өріс теориясы бойынша шешу арқылы алуға болады. Соңында, орташа өріс формализмінен асып түсу үшін Мёллер-Плессет бұзылыс теориясын қолдануға болады.

There are many systems throughout the physical world that can be modeled as anharmonic oscillators in addition to the nonlinear mass spring system. For example, an atom, which consists of a positively charged nucleus surrounded by a negatively charged electronic cloud, experiences a displacement between the center of mass of the nucleus and the electronic cloud when an electric field is present. The amount of that displacement, called the electric dipole moment, is related linearly to the applied field for small fields, but as the magnitude of the field is increased, the field dipole moment relationship becomes nonlinear, just as in the mechanical system. Further examples of anharmonic oscillators include the large angle pendulum; nonequilibrium semiconductors that possess a large hot carrier population, which exhibit nonlinear behaviors of various types related to the effective mass of the carriers; and ionospheric plasmas, which also exhibit nonlinear behavior based on the anharmonicity of the plasma, transversal oscillating strings. In fact, virtually all oscillators become anharmonic when their pump amplitude increases beyond some threshold, and as a result it is necessary to use nonlinear equations of motion to describe their behavior. Anharmonicity plays a role in lattice and molecular vibrations, in quantum oscillations, and in acoustics. The atoms in a molecule or a solid vibrate about their equilibrium positions. When these vibrations have small amplitudes they can be described by harmonic oscillators. However, when the vibrational amplitudes are large, for example at high temperatures, anharmonicity becomes important. An example of the effects of anharmonicity is the thermal expansion of solids, which is usually studied within the quasi harmonic approximation. Studying vibrating anharmonic systems using quantum mechanics is a computationally demanding task because anharmonicity not only makes the potential experienced by each oscillator more complicated, but also introduces coupling between the oscillators. It is possible to use first principles methods such as density functional theory to map the anharmonic potential experienced by the atoms in both molecules and solids. Accurate anharmonic vibrational energies can then be obtained by solving the anharmonic vibrational equations for the atoms within a mean field theory. Finally, it is possible to use Møller–Plesset perturbation theory to go beyond the mean field formalism.

Асқынулар кезеңі

Потенциалдық ұңғымада қозғалатын массаны қарастырайық. Тербеліс периоды мына арқылы есептелуі мүмкін,

мұнда қозғалыстың шекті нүктелері мыналармен берілген: және .