Введение

Отклонение физической системы от гармонического осциллятора
негармонические осцилляторы

В классической механике негармоничность – это отклонение системы от гармонического осциллятора. Осциллятор, не совершающий гармонические колебания, известен как негармонический осциллятор, при этом систему можно приближенно рассматривать как гармонический осциллятор, а негармоничность рассчитывать с помощью теории возмущений. Если негармоничность велика, необходимо использовать другие численные методы. В реальности все колеблющиеся системы являются негармоническими, но большинство из них приближаются к гармоническому осциллятору при уменьшении амплитуды колебаний. В результате возникают колебания с частотами и т.д., где – фундаментальная частота осциллятора. Кроме того, частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. См. также интермодуляцию и комбинационные тоны. В качестве первого приближения, сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебаний:

В системе осцилляторов с собственными частотами , , негармоничность приводит к появлению дополнительных колебаний с частотами.
Негармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, что приводит к интересным явлениям, таким как эффект складывания и сверхгармонический резонанс.

Общий принцип

Осциллятор — это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, такое как маятник, камертон или вибрирующая двухатомная молекула. Математически говоря, существенная особенность осциллятора заключается в том, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отклонять x от крайних значений и возвращать к некоторому центральному значению x0, вызывая колебания x между этими крайностями. Например, x может представлять собой смещение маятника от положения равновесия (x=0). По мере увеличения абсолютной величины x, возрастает и сила восстановления, действующая на груз маятника, которая возвращает его в положение равновесия. В гармонических осцилляторах восстановительная сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x от его естественного положения x0. Получающееся дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально во времени, с периодом колебаний, который является внутренним свойством системы. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период. Однако, анармонические осцилляторы характеризуются нелинейной зависимостью восстановительной силы от смещения x. Следовательно, период колебаний анармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний. В результате нелинейности анармонических осцилляторов частота вибрации может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к передаче энергии от основной частоты вибрации к другим частотам посредством процесса, известного как параметрическое возбуждение. Рассматривая нелинейную восстановительную силу как функцию F(x − x0) смещения x от его естественного положения, мы можем заменить F его линейным приближением F1 = F′(0) ⋅ (x − x0) вблизи нулевого смещения. Приближающая функция F1 является линейной, поэтому она будет описывать простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F1 точна, когда x − x0 мало. По этой причине, анармонические колебания можно приближенно описывать как гармонические, если колебания малы.

Примеры в физике

Есть много систем во всем физическом мире, которые могут быть смоделированы как агармонические осцилляторы, помимо нелинейной системы масса-пружина. Например, атом, состоящий из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля зависимость дипольного момента от поля становится нелинейной, как и в механической системе. Другие примеры агармонических осцилляторов включают маятники с большими углами отклонения; неравновесные полупроводники, обладающие большой популяцией горячих носителей, проявляющие нелинейное поведение различных типов, связанное с эффективной массой носителей; и ионосферные плазмы, которые также демонстрируют нелинейное поведение, обусловленное агармоничностью плазмы, а также поперечно колеблющиеся струны. Фактически, практически все осцилляторы становятся агармоническими при увеличении амплитуды возбуждения сверх определенного порога, и, следовательно, для описания их поведения необходимо использовать нелинейные уравнения движения. Агармоничность играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях и в акустике. Атомы в молекуле или твердом теле вибрируют около своих положений равновесия. Когда эти вибрации имеют малые амплитуды, их можно описать гармоническими осцилляторами. Однако, когда амплитуды вибраций велики, например, при высоких температурах, агармоничность становится существенной. Примером проявления агармоничности является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения. Исследование вибрирующих агармонических систем с использованием квантовой механики является вычислительно сложной задачей, поскольку агармоничность не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но и вводит связь между осцилляторами. Можно использовать методы из первых принципов, такие как теория функционала плотности, для определения агармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах, так и в твердых телах. Точные агармонические энергии колебаний могут быть получены путем решения агармонических уравнений колебаний для атомов в рамках теории среднего поля. Наконец, можно использовать теорию возмущений Мёллера — Плессета для выхода за пределы формализма среднего поля.

Период колебаний

Рассмотрим массу, движущуюся в потенциальной яме. Период колебаний можно вывести, где предельные точки движения задаются выражениями и .