Кіріспе
Математикада, әсіресе сақиналар теориясында, сақинаның сол, оң немесе екі жақты идеалы, егер оның әрбір мүшесі нөлдікке ие болса, нөлдік идеал деп аталады. Коммутативті сақинаның нил радикалы – нөлдік идеалдың мысалы; шындығында, ол нөлдік қасиеті бойынша максимал сақина идеалдарының бірі болып табылады. Айынықса, нөлдік элементтер жиыны коммутативті емес сақиналар үшін әрқашан идеалды құрамайды. Нөлдік идеалдар әлі де қызықты, шешілмеген мәселелермен байланысты, әсіресе Кёте болжамымен.
Коммутативтік сақиналар
Коммутативті сақиналарда нөлдік идеалдар, коммутативті емес сақиналарға қарағанда жақсырақ түсініледі, себебі коммутативті сақиналарда nilpotent элементтерінің көбейтінділері мен nilpotent элементтерінің қосындылары да nilpotent болып табылады. Бұл сондай, егер a және b R сақинасының nilpotent элементтері болса, яғни aⁿ = 0 және bᵐ = 0, және r – R сақинасының кез келген элементі болса, онда (a·r)ⁿ = aⁿ·rⁿ = 0, ал биномдық теорема бойынша (a+b)ᵐ⁺ⁿ = 0. Сондықтан, барлық nilpotent элементтердің жиыны сақинаның нил радикалы деп аталатын идеалды құрайды. Нил радикалдың құрамында әрбір nilpotent элемент болғандықтан, коммутативті сақинаның идеалы нил болып табылады, егер және тек қана ол нил радикалдың ішкі жиыны болса, демек нил радикал, нил емес идеалдардың арасында максималды. Бұдан әрі, кез келген nilpotent элемент a үшін коммутативті сақина R, aR идеалы нил болады. Бірақ, коммутативті емес сақина үшін, nilpotent элементтердің жиыны идеалды құрайды деген немесе a·R (бір жақты) идеал болады деген, тіпті a nilpotent болған жағдайда да, жалпы алғанда дұрыс емес.
Коммутативті емес сақиналар
Нөлдік идеалдар теориясы коммутативті емес сақиналар теориясында маңызды рөл атқарады. Атап айтқанда, әрбір элементі нильпотент болатын нөлдік сақиналарды түсіну арқылы, жалпы сақиналарды жақсырақ түсінуге болады. Коммутативті сақиналар жағдайында, әрқашан максималды нөлдік идеал болады: сақинаның нөлдік радикалы. Коммутативті емес сақиналар жағдайында, мұндай максималды нөлдік идеалдың болуы, нөлдік идеалдардың қосындысының да нөлдік болатынымен қамтамасыз етіледі. Дегенмен, екі сол жақ нөлдік идеалдың қосындысы да сол жақ нөлдік идеал болатыны туралы тұжырымның дұрыстығы әлі де анықталмады; бұл Кёте болжамы деп аталатын шешілмеген мәселе. Кёте болжамы алғаш рет 1930 жылы ұсынылған, бірақ 2023 жылға дейін де шешілмей келеді.
Нилпотентті идеалдармен байланыс
Нөлдік идеал туралы түсінік, нөлдік қуатпен тығыз байланысты, ал кейбір сақиналар кластарында екі түсінік сәйкес келеді. Егер идеал нөлдік болса, онда ол, әрине, нөлдік. Нил идеалдың нөлдік болуына екі негізгі кедергі бар: элементтерді жою үшін қажетті дәрежеге жоғарғы шек болмауы мүмкін. Кез келген деңгейде жоғары дәрежелер қажет болуы мүмкін. n нөлдік элементтердің көбейтіндісі, n-нің кез келген жоғары мәні үшін нөлден өзгеше болуы мүмкін.
There need not be an upper bound on the exponent required to annihilate elements. Arbitrarily high exponents may be required. The product of n nilpotent elements may be nonzero for arbitrarily high n.
Clearly both of these barriers must be avoided for a nil ideal to qualify as nilpotent. In a right artinian ring, any nil ideal is nilpotent. This is proved by observing that any nil ideal is contained in the Jacobson radical of the ring, and since the Jacobson radical is a nilpotent ideal (due to the artinian hypothesis), the result follows. In fact, this has been generalized to right noetherian rings; the result is known as Levitzky's theorem. A particularly simple proof due to Utumi can be found in .
Осы екі кедергінің екеуі де нил идеалдың нөлдік қуатқа ие болуы үшін еңсерілуі керек. Оң жақты артиниандық сақинада, кез келген нөлдік идеал нөлдік қуатқа ие болады. Бұл, кез келген нөлдік идеал сақинаның Якобсон радикалына кіретінін байқау арқылы дәлелденеді, және Якобсон радикалы нөлдік қуат идеал болғандықтан (артиниялық гипотезаға сәйкес), нәтиже осыдан шығады. Шындығында, бұл оң ноэтериандық сақиналарға да қатысты жалпыландырылды; нәтижесі Левицкий теоремасы ретінде белгілі. Өте қарапайым дәлелді Utumi ұсынған, оны мына жерден табуға болады.
There need not be an upper bound on the exponent required to annihilate elements. Arbitrarily high exponents may be required. The product of n nilpotent elements may be nonzero for arbitrarily high n.
Clearly both of these barriers must be avoided for a nil ideal to qualify as nilpotent. In a right artinian ring, any nil ideal is nilpotent. This is proved by observing that any nil ideal is contained in the Jacobson radical of the ring, and since the Jacobson radical is a nilpotent ideal (due to the artinian hypothesis), the result follows. In fact, this has been generalized to right noetherian rings; the result is known as Levitzky's theorem. A particularly simple proof due to Utumi can be found in .