Введение

В математике, и в частности в теории колец, левый, правый или двусторонний идеал кольца называется ниль-идеалом, если каждый его элемент является нильпотентным. Нильрадикал коммутативного кольца является примером ниль-идеала; более того, это идеал, максимальный относительно свойства быть ниль-идеалом. К сожалению, множество нильпотентных элементов не всегда образует идеал для некомутативных колец. Ниль-идеалы по-прежнему связаны с интересными нерешенными вопросами, в частности, с нерешенным предположением Кёте.

Коммутативные кольца

В коммутативных кольцах нулевые идеалы изучены лучше, чем в некомутативных кольцах, главным образом потому, что в коммутативных кольцах произведения, включающие нильпотентные элементы, и суммы нильпотентных элементов также являются нильпотентными. Это происходит потому, что если a и b – нильпотентные элементы R, такие что aⁿ = 0 и bᵐ = 0, а r – любой элемент R, то (a·r)ⁿ = aⁿ·rⁿ = 0, и по биномиальной теореме (a+b)ᵐ⁺ⁿ = 0. Следовательно, множество всех нильпотентных элементов образует идеал, известный как нильрадикал кольца. Поскольку нильрадикал содержит каждый нильпотентный элемент, идеал коммутативного кольца является нулевым тогда и только тогда, когда он является подмножеством нильрадикала, и, следовательно, нильрадикал является максимальным среди не-нулевых идеалов. Более того, для любого нильпотентного элемента a коммутативного кольца R идеал aR является нулевым. Однако для некомутативного кольца в общем случае неверно, что множество нильпотентных элементов образует идеал, или что aR является нулевым (односторонним) идеалом, даже если a нильпотентен.

Некоммутативные кольца

Теория нулевых идеалов имеет большое значение в некомутативной теории колец. В частности, через понимание ниль-колец — колец, в которых каждый элемент нильпотентен — можно получить гораздо лучшее понимание более общих колец. В случае коммутативных колец всегда существует максимальный нулевой идеал: нильрадикал кольца. Существование такого максимального нулевого идеала в случае некоммутативных колец гарантируется тем фактом, что сумма нулевых идеалов снова является нулевым идеалом. Однако доказательство того, что сумма двух левых нулевых идеалов снова является левым нулевым идеалом, остаётся неподтверждённым; это открытая проблема, известная как гипотеза Кёте. Гипотеза Кёте была впервые сформулирована в 1930 году и остаётся нерешённой по состоянию на 2023 год.

Отношение к нильпотентным идеалам

Понятие нулевого идеала имеет глубокую связь с понятием нильпотентного идеала, и в некоторых классах колец эти два понятия совпадают. Если идеал нильпотентен, то он, безусловно, нулевой. Существует два основных препятствия для того, чтобы нулевой идеал был нильпотентным:
Не обязательно существует верхняя граница для степени, необходимой для аннулирования элементов. Может потребоваться произвольно высокая степень. Произведение n нулевых элементов может быть ненулевым при произвольно большом n.
Очевидно, что для того, чтобы нулевой идеал считался нильпотентным, необходимо преодолеть оба эти препятствия. В правом артиновом кольце любой нулевой идеал является нильпотентным. Это доказывается тем, что любой нулевой идеал содержится в радикале Якобсона кольца, и поскольку радикал Якобсона является нильпотентным идеалом (в силу артиновой гипотезы), то результат следует из этого. Фактически, это было обобщено на правые нётеровы кольца; результат известен как теорема Левицкого. Особенно простое доказательство, принадлежащее Утуми, можно найти в [здесь].