Кіріспе
Граф теориясындағы Оре шарты
Математикада, әсіресе алгебраның сақина теориясы саласында, Оре шарты – Ойстейн Оре енгізген шарт. Бұл шарт коммутативті сақиналардан тыс, бөлшек өрісінің құрылымын немесе жалпы алғанда сақинаның локализациясын кеңейту мәселесімен байланысты. Р сақинасының S көбейтуші жиыны үшін оң Оре шарты, кез келген a ∈ R және s ∈ S үшін, aS ∩ sR ≠ ∅ теңдігі орындалуы керек. Нөлдік емес элементтері оң Оре шартын қанағаттандыратын (коммутативті емес) домен оң Оре домені деп аталады. Сол жақ жағдайы да осыған ұқсас анықталады.
Жалпы түсінік
Мақсат – S көбейтуші жиынына қатысты R[S−1] бөлшектерінің сақинасын құру. Басқаша айтқанда, біз as−1 түріндегі элементтермен жұмыс істегіміз келеді және R[S−1] жиынында сақиналық құрылымды анықтағымыз келеді. Мәселе мынада, (as−1)(bt−1) көбейтіндісінің түсінікті интерпретациясы жоқ; шындығында, s−1-ді b-нің артына "көшіру" тәсіліне мұқтаждық. Яғни, s−1b-ні b1s1−1 көбейтіндісі түрінде қайта жазуымыз керек. Егер 1 = s−1b = b1s1−1 болсын десек, сол жағынан s-ке, оң жағынан s1-ге көбейту арқылы 1 = bs1 = sb1 аламыз. Осыдан, a және s берілген жағдайда, s1 ≠ 0 болатын және 1 = as1 = sa1 теңдігі орындалатын a1 және s1-дің болуын қажет ететініміз көрінеді.
Мысалдар
Коммутативтік домендер автоматты түрде Ore домендері болып табылады, себебі нөлдік емес a және b үшін ab, aR ∩ bR кесіндісінде нөлдік емес болады. Оң Noetherian домендері, мысалы оң негізгі идеалдық домендер, сондай-ақ оң Ore домендері болып танылады. Тіпті жалпырақ айтқанда, Альфред Голди R доменінің оң жақтан Ore шартын қанағаттандыруы үшін RR-дың шекті біртекті өлшемге ие болуы керек екенін дәлелдеді. Оң жақ Bézout домендері де оң жақтан Ore домендері болып табылады.
Бөліну сақинасының субдомені, ол оң немесе сол Ore домені емес: Егер F кез келген өріс болса және x және y екі символындағы еркін моноид болса, онда моноид сақинасы ешқандай Ore шартын қанағаттандырмайды, бірақ ол еркін идеалдық сақина болып табылады және де сондықтан бөліну сақинасының субдомені болып келеді.
Көбейту жиынтығы
Ore шартын басқа көбейтуші жиынтықтарға жалпылауға болады және ол оқулықтарда келтіріледі және . Сақина R-дің S жиынтығы, егер R-дегі кез келген a, b және S-дегі s, t үшін келесі үш шарт орындалса, оң жақ бөлгіш жиынтығы деп аталады: st жиынтығында болады; (S жиынтығы көбейту бойынша жабық.) aS ∩ sR бос емес; (S жиынтығы оң жақтан ауыстырылатын.) Егер 1=sa = 0 болса, онда S жиынтығында 1=au = 0 болатын u бар; (S жиынтығы оң жақтан кері айналатын.) Егер S оң жақ бөлгіш жиынтығы болса, онда RS−1 сақинасын оң жақ бөлшектердің сақинасын коммутативтік жағдайға ұқсас құруға болады. Егер S жиынтығы тұрақты элементтерден (R-дегі a элементтері, егер R-дегі b нөлден өзгеше болса, онда ab және ba нөлден өзгеше) тұрса, онда дұрыс Ore шарты жай ғана S-тің оң жақ бөлгіш жиынтығы болуы талабы болып табылады. Коммутативтік локализацияның көптеген қасиеттері осы жалпы жағдайда да сақталады. Егер S, R сақинасы үшін оң жақ бөлгіш жиынтығы болса, онда сол R модулі RS−1 жазық болады. Әрі, егер M – R оң модулі болса, онда S торсиясы, torS(M) = { m ∈ M : ms = 0, S-дегі кейбір s үшін }, Tor1(M, RS−1) модуліне изоморфты R субмодулі болып табылады, ал M ⊗R RS−1 модулі табиғи түрде коммутативтік жағдайдағыдай "бөлшектерден" тұратын MS−1 модуліне изоморфты.
st in S; (The set S is multiplicatively closed.) aS ∩ sR is not empty; (The set S is right permutable.) If 1=sa = 0, then there is some u in S with 1=au = 0; (The set S is right reversible.) If S is a right denominator set, then one can construct the ring of right fractions RS−1 similarly to the commutative case. If S is taken to be the set of regular elements (those elements a in R such that if b in R is nonzero, then ab and ba are nonzero), then the right Ore condition is simply the requirement that S be a right denominator set. Many properties of commutative localization hold in this more general setting. If S is a right denominator set for a ring R, then the left R module RS−1 is flat. Furthermore, if M is a right R module, then the S torsion, 1=torS(M) = { m in M : ms = 0 for some s in S }, is an R submodule isomorphic to Tor1(M, RS−1), and the module M ⊗R RS−1 is naturally isomorphic to a module MS−1 consisting of "fractions" as in the commutative case.