Введение

Условие Оре в теории колец

В математике, особенно в области алгебры, известной как теория колец, условие Оре — это условие, введенное Эйштейном Оре в связи с вопросом о расширении построения поля дробей или, в более общем случае, локализации кольца за пределы коммутативных колец. Правым условием Оре для мультипликативного подмножества S кольца R является то, что для a ∈ R и s ∈ S, пересечение aS ∩ sR ≠ ∅. (Некоммутативный) домен, для которого множество ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется правым доменом Оре. Левый случай определяется аналогично.

Общая идея

Цель состоит в том, чтобы построить кольцо частных R[S−1] относительно мультипликативного множества S. Иными словами, мы хотим работать с элементами вида as−1 и иметь кольцевую структуру на множестве R[S−1]. Проблема в том, что нет очевидной интерпретации произведения (as−1)(bt−1); действительно, нам нужен способ "перенести" s−1 за b. Это означает, что нам нужно уметь переписывать s−1b в виде произведения b1s1−1. Предположим, 1 = s−1b = b1s1−1. Тогда, умножая слева на s и справа на s1, получаем 1 = bs1 = sb1. Следовательно, мы видим необходимость, для заданных a и s, существования a1 и s1, таких что s1 ≠ 0 и 1 = as1 = sa1.

Примеры

Коммутативные домены автоматически являются доменами Оре, поскольку для ненулевых a и b, ab не является нулем в пересечении aR и bR. Правые нётеровы домены, такие как правые домены главных идеалов, также известны как правые домены Оре. Более общим образом, Альфред Голди доказал, что домен R является правым доменном Оре тогда и только тогда, когда RR имеет конечную однородную размерность. Также верно, что правые домены Безу являются правыми доменами Оре.

Поддомен кольца делений, который не является ни правым, ни левым доменном Оре: Если F – любое поле, а – свободный моноид на двух символах x и y, то моноидное кольцо не удовлетворяет никакому условию Оре, но является свободным идеальным кольцом и, таким образом, действительно является поддоменом кольца делений, согласно [ссылка на теорему/работу].

Множественные множества

Условие Оре может быть обобщено на другие мультипликативные подмножества и представлено в учебной форме в [ ]. Подмножество S кольца R называется правым множеством знаменателей, если оно удовлетворяет следующим трем условиям для всех a, b из R и s, t из S:
st ∈ S; (Множество S мультипликативно замкнуто.) aS ∩ sR ≠ ∅; (Множество S право-проницаемо.) Если sa = 0, то существует элемент u ∈ S такой, что au = 0; (Множество S право-обратимо.) Если S является правым множеством знаменателей, то можно построить кольцо правых дробей RS−1 аналогично коммутативному случаю. Если S принимается за множество регулярных элементов (элементов a из R, таких что если b из R отлично от нуля, то ab и ba также отличны от нуля), то условие Оре для правых колец сводится к требованию, чтобы S было правым множеством знаменателей. Многие свойства коммутативной локализации справедливы и в этой более общей постановке. Если S является правым множеством знаменателей для кольца R, то левый R-модуль RS−1 плоский. Более того, если M — правый R-модуль, то S-торсия, torS(M) = { m ∈ M : ms = 0 для некоторого s ∈ S }, является R-подмодулем, изоморфным Tor1(M, RS−1), а модуль M ⊗R RS−1 естественно изоморфен модулю MS−1, состоящему из "дробей", как и в коммутативном случае.