Кіріспе
Коммутативтік алгебрадағы толық қиылысу сақиналары. Математикада, проективті кеңістіктегі V алгебралық қисығы толық қиылысқа ие болады, егер V идеалы V-нің кодимі санына тең элементтермен туындатылса. Яғни, егер V-нің өлшемі m-ге тең және ол Pn проективті кеңістігінде жатса, онда n − m гомогенді полиномдар болуы керек:
In mathematics, an algebraic variety V in projective space is a complete intersection if the ideal of V is generated by exactly codim V elements. That is, if V has dimension m and lies in projective space Pn, there should exist n − m homogeneous polynomials:
in the homogeneous coordinates Xj, which generate all other homogeneous polynomials that vanish on V.
Geometrically, each Fi defines a hypersurface; the intersection of these hypersurfaces should be V. The intersection of n − m hypersurfaces will always have dimension at least m, assuming that the field of scalars is an algebraically closed field such as the complex numbers. The question is essentially, can we get the dimension down to m, with no extra points in the intersection? This condition is fairly hard to check as soon as the codimension n − m ≥ 2. When 1=n − m = 1 then V is automatically a hypersurface and there is nothing to prove.
гомогенді координаттар Xj арқылы, V-де нөлге тең болатын барлық басқа гомогенді полиномдарды тудыратын. Геометриялық тұрғыдан, әр Fi гипербетті анықтайды; осы гипербеттердің қиылысы V-ге тең болуы керек. n − m гипербеттердің қиылысының өлшемі, егер скалярлар өрісі кешенді сандар сияқты алгебралық жабық өріс болса, әрқашан кем дегенде m-ге тең болады. Негізгі сұрақ: қиылыста қосымша нүктелер болмаса, өлшемді m-ге дейін төмендетуге бола ма? Бұл шартты n − m ≥ 2 кодимі болғанда тексеру өте қиын. Егер n − m = 1 болса, онда V автоматты түрде гипербет болып табылады және дәлелдеудің қажеті жоқ.
In mathematics, an algebraic variety V in projective space is a complete intersection if the ideal of V is generated by exactly codim V elements. That is, if V has dimension m and lies in projective space Pn, there should exist n − m homogeneous polynomials:
in the homogeneous coordinates Xj, which generate all other homogeneous polynomials that vanish on V.
Geometrically, each Fi defines a hypersurface; the intersection of these hypersurfaces should be V. The intersection of n − m hypersurfaces will always have dimension at least m, assuming that the field of scalars is an algebraically closed field such as the complex numbers. The question is essentially, can we get the dimension down to m, with no extra points in the intersection? This condition is fairly hard to check as soon as the codimension n − m ≥ 2. When 1=n − m = 1 then V is automatically a hypersurface and there is nothing to prove.
Мысалдар
Толық қиылыстардың қарапайым мысалдары бір полиномиалдың нөлдік жиыны арқылы анықталатын гипербеттермен беріледі. Мысалы,
квинтикалық үш өлшемді сорттың мысалы болып табылады. Екі немесе одан көп нақты мысалдарды (зоологиялық жинақ) қолданып, жоғары өлшемді сорттардың толық қиылысуының нақты мысалдарын табу қиын болуы мүмкін, бірақ, мына түрдегі 3 өлшемді сорттың нақты мысалы бар:
Өлшемі жағынан ерекшеленетін сорттардың бірігуі
Толық емес қиылысуды құрудың тағы бір ыңғайлы тәсілі, ол ешқашан жергілікті толық қиылысу бола алмайды, – өлшемдері сәйкес келмейтін екі әртүрлі сорттың біріктірілуі арқылы жасалады. Мысалы, нүктеде қиылысатын түзу және жазықтықтың біріктірілуі осы құбылыстың классикалық мысалы болып табылады. Ол схема арқылы берілген.
Көп дәрежелі
Толық қиылысудың көп градусы болады, ол анықтайтын гипербеттердің дәрежелерінің тізімі (нақтырақ айтқанда, көп жиынтық) түрінде жазылады. Мысалы, P3 кеңістігіндегі екінші дәрежелі қисықтарды қарастыратын болсақ, олардың толық қиылысының көп градусы (2,2) болады, ал олардың орналасуы жалпы жағдайға сәйкес келсе, бұл эллипстік қисық болады. Кешенді тегіс толық қиылыстардың Ходж сандарын Кунихико Кодайра еңбектеп шығарды.
Жалпы ұстаным
Нақтырақ сұрақтар үшін, қиылыстың мәніне жақын қарау қажет. Гипербеттер көлденеңдік шартын қанағаттандыруы талап етілуі мүмкін (мысалы, олардың жанама кеңістіктері қиылысу нүктелерінде ерекше жағдайда болуы). Қиылыс схемалық тұрғыдан қарастырылуы мүмкін, яғни Fᵢ(X₀, …, Xₙ) арқылы туындаған біртекті идеал V-нің анықтамалық идеалы болуы керек, жай ғана дұрыс түбірге ие болмауы керек. Коммутативтік алгебрада толық қиылыс шарты тұрақты тізбектер түрінде көрініс табады, бұл жергілікті толық қиылысты анықтауға немесе кейбір локализациядан кейін идеалдың анықтамалық тұрақты тізбектерге ие болуына мүмкіндік береді.
Эйлер сипаты
Хирцебрух көп дәрежелі қиылыстардың барлық толық қиылыстарының өлшемдерін есептейтін туынды функция берді.