Введение

полные кольца пересечения в коммутативной алгебре
В математике, алгебраическое многообразие V в проективном пространстве называется полным пересечением, если идеал V порождается ровно codim V элементами. То есть, если V имеет размерность m и лежит в проективном пространстве Pn, то должны существовать n − m однородных многочленов:

в однородных координатах Xj, которые порождают все остальные однородные многочлены, обращающиеся в нуль на V.

Геометрически, каждый Fi определяет гиперповерхность; пересечение этих гиперповерхностей должно быть равно V. Пересечение n − m гиперповерхностей всегда будет иметь размерность не меньше m, при условии, что поле скаляров является алгебраически замкнутым полем, например, комплексными числами. Суть вопроса заключается в том, можно ли понизить размерность до m, не получив при этом лишних точек в пересечении? Это условие довольно сложно проверить, как только коразмерность n − m ≥ 2. Если же n − m = 1, то V автоматически является гиперповерхностью, и доказывать ничего не требуется.

Примеры

Простые примеры полных пересечений даются гиперповерхностями, определяемыми множеством нулей одного многочлена. Например,

дает пример квинтичной тройной поверхности. Найти явные примеры полных пересечений многообразий более высокой размерности, используя два или более явных примера (каталог), может быть сложно, но существует явный пример трехмерного многообразия типа, заданного

Союз сортов, отличающихся по размеру

Другой удобный способ построить неполное пересечение, которое никогда не может быть локальным полным пересечением, — это взять объединение двух различных многообразий, размеры которых не совпадают. Например, объединение прямой и плоскости, пересекающихся в точке, является классическим примером этого явления. Оно задается схемой

Многоградусная

Полное пересечение имеет мультистепень, записываемую как кортеж (хотя и мультимножество) степеней определяющих гиперповерхностей. Например, рассматривая снова квадрики в P3, (2,2) является мультистепенью полного пересечения двух из них, которое, при их общем положении, является эллиптической кривой. Числа Ходжа комплексных гладких полных пересечений были вычислены Кунихико Кодайрой.

Общая позиция

Для более точных вопросов необходимо более детально рассмотреть природу пересечения. Гиперповерхности могут потребовать выполнения условия трансверсальности (например, чтобы их тангентные пространства находились в общем положении в точках пересечения). Пересечение может рассматриваться в схемах, то есть гомогенный идеал, порожденный Fi(X0, …, Xn), может потребоваться как определяющий идеал V, а не только иметь правильный радикал. В коммутативной алгебре условие полного пересечения выражается терминами регулярных последовательностей, что позволяет определить локальное полное пересечение, или после некоторой локализации, чтобы идеал имел определяющие регулярные последовательности.

Характеристика Эйлера

Хирцебрук дал генерирующую функцию для вычисления размерности всех полных пересечений мультистепени *t*. Она имеет вид