Кіріспе

Математикада Азумая алгебрасы – өріс болуы міндетті емес алгебраларға орталық қарапайым алгебралардың жалпылауы болып табылады. Мұндай түсінік 1951 жылы Горо Азумаяның мақаласында енгізілген, онда коммутативті жергілікті сақина қарастырылған. Бұл ұғым сақиналар теориясында және алгебралық геометрияда одан әрі дамытылды, онда Александр Гротендик оны 1964–1965 жылдарғы Бурбаки семинарларында Брауэр тобының геометриялық теориясының негізі ретінде пайдаланды. Қазіргі таңда негізгі анықтамаларға қол жеткізудің бірнеше жолы бар.

Өрістегі мысалдар

Дала үстінде Азумая алгебралары Артин-Уэддерберн теоремасы бойынша толықтай жіктеледі, себебі олар орталық қарапайым алгебралармен сәйкес келеді. Бұл матрицалық сақинаға изоморфты алгебралар, қандай да бір бөліну алгебрасының ортасы тек өзі болып табылады. Мысалы, кватернион алгебралары орталық қарапайым алгебралардың мысалы болып табылады.

Жергілікті сақиналар туралы мысалдар

Жергілікті коммутативті сақина берілгенде, алгебра Азумая болады, егер және тек егер ол модуль ретінде оң, шекті дәрежелі бос болса, және алгебра сақина үстінен орталық қарапайым алгебра болса, сондықтан барлық мысалдар сақина үстінен орталық қарапайым алгебралардан шығады.

Сколем-Ноттер теоремасы

Азумая алгебралары туралы маңызды құрылымдық нәтижелердің бірі – Сколем-Ноттер теоремасы: берілген жергілікті коммутативті сақина және Азумая алгебрасы үшін, алгебраның барлық автоморфизмдері ішкі болып табылады. Яғни, келесі бейнелеу сюръективті:

қайда – сақинадағы бірліктер тобы. Бұл маңызды, себебі ол схема бойынша Азумая алгебраларының ұқсастық кластарының когомологиялық жіктелуімен тікелей байланысты. Атап айтқанда, бұл Азумая алгебрасының құрылымдық тобы кейбір үшін бар екенін білдіреді, ал Чех когомологиялық тобы

мұндай шоғырлардың когомологиялық жіктелуін береді. Содан кейін, бұл келесі толық тізбек арқылы байланыстырылуы мүмкін:

Көрсетілгендей, -нің бейнесі торсиондық топтың кіші тобы болып табылады.

Pn бөлінісінің мысалы

Азумайя алгебралары өріс үстіндегі Азумайя алгебрасы үшін мысал ретінде, эндоморфизм шоғы матрицалық шоғы болып табылады. Сондықтан, Азумайя алгебрасы кватернион алгебрасы сияқты өріс үстіндегі Азумайя алгебрасымен тензорланған осы шоқ арқылы құрылуы мүмкін.

Қолданбалар

Юрий Маниннің жұмыстарынан кейін Азумая алгебралары диофантикалық геометрияда маңызды қолданыс тапты. Хассе принципіне Манин кедергісі схемалардың Брауэр тобын пайдалана отырып анықталады.