Введение
В математике, алгебра Азумайи — это обобщение центральных простых алгебр на алгебры, где область, над которой они определены, не обязательно является полем. Это понятие было введено в 1951 году в статье Горо Азумайи для случая, когда область является коммутативным локальным кольцом. Понятие было далее развито в теории колец и в алгебраической геометрии, где Александр Гротендик использовал его в качестве основы для своей геометрической теории группы Брауэра на семинарах Бурбаки в 1964–1965 годах. В настоящее время существует несколько подходов к основным определениям.
Примеры по поле
В поле алгебры Азумайи полностью классифицируются теоремой Артина — Уэддерберна, поскольку они совпадают с центральными простыми алгебрами. Это алгебры, изоморфные кольцу матриц для некоторой алгебры с делением, центр которой равен полю. Например, алгебры кватернионов являются примерами центральных простых алгебр.
Примеры локальных колец
При заданном локальном коммутативном кольце, алгебра является Азумайей тогда и только тогда, когда она является свободным модулем положительного конечного ранга над , и алгебра является центральной простой алгеброй над , следовательно, все примеры происходят из центральных простых алгебр над .
Теорема Сколема и Ноэтера
Одним из важных структурных результатов об алгебрах Азумайи является теорема Сколема — Нётера: для заданного локального коммутативного кольца и алгебры Азумайи единственными автоморфизмами алгебры являются внутренние. Иными словами, следующее отображение сюръективно:
where is the group of units in This is important because it directly relates to the cohomological classification of similarity classes of Azumaya algebras over a scheme. In particular, it implies an Azumaya algebra has structure group for some , and the Čech cohomology group
gives a cohomological classification of such bundles. Then, this can be related to using the exact sequence
It turns out the image of is a subgroup of the torsion subgroup .
где – группа обратимых элементов в . Это важно, поскольку напрямую связано с кохомологической классификацией классов подобия алгебр Азумайи над схемой. В частности, это означает, что алгебра Азумайи имеет структурную группу для некоторого , а группа когомологий Чеха дает кохомологическую классификацию таких расслоений. Затем это можно связать с использованием точной последовательности:
where is the group of units in This is important because it directly relates to the cohomological classification of similarity classes of Azumaya algebras over a scheme. In particular, it implies an Azumaya algebra has structure group for some , and the Čech cohomology group
gives a cohomological classification of such bundles. Then, this can be related to using the exact sequence
It turns out the image of is a subgroup of the torsion subgroup .
Оказывается, образ отображения является подгруппой торсионной подгруппы.
where is the group of units in This is important because it directly relates to the cohomological classification of similarity classes of Azumaya algebras over a scheme. In particular, it implies an Azumaya algebra has structure group for some , and the Čech cohomology group
gives a cohomological classification of such bundles. Then, this can be related to using the exact sequence
It turns out the image of is a subgroup of the torsion subgroup .
Пример по Pn
Над алгебрами Азумайи можно строить алгебры, как для алгебры Азумайи над полем. Например, пучок эндоморфизмов является матричным пучком, поэтому алгебру Азумайи над можно построить из этого пучка, натянутого на алгебру Азумайи над , например, алгебру кватернионов.
so an Azumaya algebra over can be constructed from this sheaf tensored with an Azumaya algebra over , such as a quaternion algebra.
Приложения
Существуют важные применения алгебр Азумая в диофантовой геометрии, появившиеся после работ Юрия Манина. Препятствие Манина принципу Хассе определяется с использованием группы Брауэра схем.