Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, Гротендик-Кац p қисықтығы болжамы — сызықтық қалыпты дифференциалдық теңдеулерге қатысты жергілікті-жаһандық принцип, дифференциалдық Галуа теориясымен байланысты және шамамен, полиномдық жағдай ретінде қарастырылатын Чеботарёв тығыздық теоремасының нәтижесіне ұқсас. Бұл болжамды Александр Гротендик 1960 жылдардың соңында айтқан, бірақ ол оны ешқандай түрінде жарияламаған. Жақындағы жетістіктерге қарамастан, жалпы жағдай әлі де шешілмеген күйде, және ол алгебралық жапырақтарды зерттеуді қамтитын геометриялық зерттеулермен байланысты.
In mathematics, the Grothendieck–Katz p curvature conjecture is a local global principle for linear ordinary differential equations, related to differential Galois theory and in a loose sense analogous to the result in the Chebotarev density theorem considered as the polynomial case. It is a conjecture of Alexander Grothendieck from the late 1960s, and apparently not published by him in any form. The general case remains unsolved, despite recent progress; it has been linked to geometric investigations involving algebraic foliations.
Кацтың Галуа тобының формуласы
Николас Кац танакиандық категориялық әдістерді қолданып, бұл болжамның мәні бойынша Галуаның дифференциалдық тобы G (немесе дәлірек айтқанда, алгебралық топтың Лай алгебрасы g, бұл жағдайда монодромиялық топтың Зариски жабылуы) белгілі бір кең ауқымды дифференциалдық теңдеулер класы үшін p модулі бойынша алынған мәліметтермен анықталады екенін көрсетті.
Nicholas Katz has applied Tannakian category techniques to show that this conjecture is essentially the same as saying that the differential Galois group G (or strictly speaking the Lie algebra g of the algebraic group G, which in this case is the Zariski closure of the monodromy group) can be determined by mod p information, for a certain wide class of differential equations.
Алға қарай
Бенсон Фарб пен Марк Кисин жағдайлардың кең класын дәлелдеді; бұл теңдеулер жергілікті симметриялық X сортында белгілі бір топтық-теориялық шарттарға бағынады. Бұл жұмыс Кацтың Пикард-Фукс теңдеулері бойынша алдыңғы нәтижелеріне (Гаусс-Манин байланысының қазіргі түсінігінде) негізделген, және Андре оны Таннакиан бағытында одан әрі дамытты. Ол сонымен қатар арифметикалық топтарға тән супержұтықтықтың бір түрін қолданады. Басқа да табыстар арифметикалық әдістермен қол жеткізілді.
A wide class of cases has been proved by Benson Farb and Mark Kisin; these equations are on a locally symmetric variety X subject to some group theoretic conditions. This work is based on the previous results of Katz for Picard–Fuchs equations (in the contemporary sense of the Gauss–Manin connection), as amplified in the Tannakian direction by André. It also applies a version of superrigidity particular to arithmetic groups. Other progress has been by arithmetic methods.
Тарих
Николас Кац 1972 жылы болжамды жариялаған мақаласында деформация теориясымен байланысты бірнеше жағдайды келтірді. Содан бері оның түрлендірілген нұсқалары жарияланды. Айырмашылық теңдеулері үшін q-аналогы ұсынылды. 2009 жылғы Grothendieck Colloque-інде Кисиннің осы жұмысы туралы баяндамасына жауап бергенде Кац болжамның қалыптасу тарихын жеке білуі бойынша қысқаша айтып берді. Гротендик оны 1969 жылдың көктемінде ашық талқылауға ұсынған, бірақ осы тақырыпта ештеңе жазбаған. Ол бұл идеяға кристаллдық кохомология саласындағы негізгі түсініктер арқылы келді, сол кезде оның шәкірті Пьер Бертело осы саланың дамуымен айналысып жатқан еді. Бір жағынан, байланыстар теориясындағы "нильпотенция" ұғымын кристаллдық теорияда қалыпты қолданылатын бөлінген қуат құрылымы әдісімен салыстыруды көздеген Гротендик осы болжамды соның нәтижесі ретінде жасады.
Nicholas Katz related some cases to deformation theory in 1972, in a paper where the conjecture was published. Since then, reformulations have been published. A q analogue for difference equations has been proposed. In responding to Kisin's talk on this work at the 2009 Colloque Grothendieck, Katz gave a brief account from personal knowledge of the genesis of the conjecture. Grothendieck put it forth in public discussion in Spring 1969, but wrote nothing on the topic. He was led to the idea by foundational intuitions in the area of crystalline cohomology, at that time being developed by his student Pierre Berthelot. In some way wishing to equate the notion of "nilpotence" in the theory of connections, with the divided power structure technique that became standard in crystalline theory, Grothendieck produced the conjecture as a by product.