Гипотеза p-кривизны Гротендика-Каца: Современное состояние и развитие
Grothendieck–Katz p-curvature conjecture
Гипотеза изокривизны Гротендика-Каца: связь дифференциальных уравнений, теории Галуа и плотности Чеботарёва. Прогресс в решении, алгебраические фолиации.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике гипотеза о p-кривизне Гротендика — Каца является локально-глобальным принципом для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, связанным с дифференциальной теорией Галуа и, в широком смысле, аналогичным результату в теореме о плотности Чеботарёва, рассматриваемой как полиномиальный случай. Это предположение Александра Гротендика конца 1960-х годов, которое, по-видимому, им нигде не было опубликовано. Общий случай остаётся нерешённым, несмотря на недавний прогресс; он связан с геометрическими исследованиями, включающими алгебраические фолиации.
In mathematics, the Grothendieck–Katz p curvature conjecture is a local global principle for linear ordinary differential equations, related to differential Galois theory and in a loose sense analogous to the result in the Chebotarev density theorem considered as the polynomial case. It is a conjecture of Alexander Grothendieck from the late 1960s, and apparently not published by him in any form. The general case remains unsolved, despite recent progress; it has been linked to geometric investigations involving algebraic foliations.
Формулировка Каца для группы Галуа
Николас Кац применил методы таннакианских категорий, чтобы показать, что эта гипотеза по существу эквивалентна утверждению о том, что дифференциальная группа Галуа G (или, строго говоря, алгебра Ли g алгебраической группы G, которая в данном случае является замыканием Зариски группы монодромии) может быть определена по информации по модулю p для достаточно широкого класса дифференциальных уравнений.
Nicholas Katz has applied Tannakian category techniques to show that this conjecture is essentially the same as saying that the differential Galois group G (or strictly speaking the Lie algebra g of the algebraic group G, which in this case is the Zariski closure of the monodromy group) can be determined by mod p information, for a certain wide class of differential equations.
Прогресс
Бенсон Фарб и Марк Кисин доказали широкий класс случаев; эти уравнения рассматриваются на локально симметричном многообразии X, удовлетворяющем определенным условиям теории групп. Эта работа основана на более ранних результатах Каца для уравнений Пикара — Фукса (в современном понимании, связанном с соединением Гаусса — Манина), которые были расширены Андре в таннакианском направлении. Также используется версия сверхжесткости, специфичная для арифметических групп. Дополнительный прогресс был достигнут арифметическими методами.
A wide class of cases has been proved by Benson Farb and Mark Kisin; these equations are on a locally symmetric variety X subject to some group theoretic conditions. This work is based on the previous results of Katz for Picard–Fuchs equations (in the contemporary sense of the Gauss–Manin connection), as amplified in the Tannakian direction by André. It also applies a version of superrigidity particular to arithmetic groups. Other progress has been by arithmetic methods.
История
Николас Кац соотнес некоторые случаи с теорией деформаций в 1972 году в статье, где была опубликована гипотеза. С тех пор были опубликованы различные переформулировки. Был предложен q-аналог для уравнений в конечных разностях. В ответ на доклад Кисина об этой работе на коллоквиуме Гротендика в 2009 году, Кац кратко изложил из личного опыта историю возникновения гипотезы. Гротендик впервые представил её для публичного обсуждения весной 1969 года, но ничего на эту тему не опубликовал. К этой идее его подвели основополагающие соображения в области кристаллической когомологии, которая в то время разрабатывалась его учеником Пьером Бертело. Стремясь в некотором смысле сопоставить понятие "нильпотентности" в теории связностей с техникой структур деления степени, ставшей стандартной в кристаллической теории, Гротендик сформулировал гипотезу как побочный результат.
Nicholas Katz related some cases to deformation theory in 1972, in a paper where the conjecture was published. Since then, reformulations have been published. A q analogue for difference equations has been proposed. In responding to Kisin's talk on this work at the 2009 Colloque Grothendieck, Katz gave a brief account from personal knowledge of the genesis of the conjecture. Grothendieck put it forth in public discussion in Spring 1969, but wrote nothing on the topic. He was led to the idea by foundational intuitions in the area of crystalline cohomology, at that time being developed by his student Pierre Berthelot. In some way wishing to equate the notion of "nilpotence" in the theory of connections, with the divided power structure technique that became standard in crystalline theory, Grothendieck produced the conjecture as a by product.