Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометрияның саласы
Branch of algebraic geometry
Математикада қиылысу теориясы – алгебралық геометрияның маңызды салаларының бірі болып табылады, ол берілген сорттың екі субвариантының қиылысуы туралы мәліметтер береді. Теорияның сорттарға қатысты түрі ежелден келеді, оның бастаулары Безудің қисықтар туралы теоремасында және жою теориясында жатыр. Ал топологиялық теория тез арада толыққанды нысанға келді. Қиылысу теориясының дамуы әлі де жалғасуда. Қазіргі таңдағы басты назар: виртуалды фундаментал циклдар, кванттық қиылысу сақиналары, Громов-Виттен теориясы және қиылысу теориясын схемалардан стектерге дейін кеңейту.
In mathematics, intersection theory is one of the main branches of algebraic geometry, where it gives information about the intersection of two subvarieties of a given variety. The theory for varieties is older, with roots in Bézout's theorem on curves and elimination theory. On the other hand, the topological theory more quickly reached a definitive form. There is yet an ongoing development of intersection theory. Currently the main focus is on: virtual fundamental cycles, quantum intersection rings, Gromov–Witten theory and the extension of intersection theory from schemes to stacks.
Қозғалыс циклдері
V және W алгебралық циклдерді қиыстырудың жақсы жұмыс істейтін механизмі тек осы циклдердің V ∩ W жиындық қиылысын алудан артық нәрсені қажет етеді. Егер екі цикл "жақсы жағдайда" болса, онда V · W деп белгіленетін қиылысу көбейтіндісі екі субвариететтің жиындық қиылысынан тұруы керек. Дегенмен, циклдер жаман жағдайда болуы мүмкін, мысалы, жазықтықтағы екі параллель түзу немесе жазықтықтағы бір түзу (үшөлшемді кеңістікте қиылысатын). Екі жағдайда да қиылысу нүкте болуы керек, себебі, қайтадан, егер бір цикл жылжырылса, бұл қиылыс нүктесі болар еді. Екі V және W циклдерінің қиылысы, егер (жиындық тұрғысынан) V ∩ W қиылысының кодименсиясы V және W кодименсияларының қосындысына тең болса, яғни "күтілетін" мән болса, дұрыс деп аталады. Сондықтан алгебралық циклдерде тиісті эквиваленттілік қатынастарын қолдана отырып, циклдерді жылжыту ұғымы пайдаланылады. Эквиваленттілік жеткілікті кең болуы керек, яғни кез келген екі V және W циклдері берілген жағдайда, V′ және W′ эквивалентті циклдері болуы керек, сонда V′ ∩ W′ қиылысы дұрыс болады. Әрине, екінші жағынан, екінші эквивалентті V′′ және W′′ үшін V′ ∩ W′ , V′′ ∩ W′′ эквивалентті болуы керек. Кесілім теориясы үшін рационалдық эквиваленттілік ең маңыздысы болып табылады. Қысқасы, екі r өлшемді цикл X вариететінде рационалдық эквивалентті болады, егер (r + 1) өлшемді субвариетет Y-де f рационалдық функциясы болса, яғни функциялық кеңістік k(Y)-ның элементе немесе эквивалентті түрде f : Y → 'P'^(1) функциясы болса, онда 1 = V − W = f ^(−1)(0) − f ^(−1)(∞), мұнда f ^(−1)(⋅) көптіктермен есептеледі. Рационалдық эквиваленттілік жоғарыда сипатталған қажеттіліктерді қанағаттандырады.
A well working machinery of intersecting algebraic cycles V and W requires more than taking just the set theoretic intersection V ∩ W of the cycles in question. If the two cycles are in "good position" then the intersection product, denoted V · W, should consist of the set theoretic intersection of the two subvarieties. However cycles may be in bad position, e. g. two parallel lines in the plane, or a plane containing a line (intersecting in 3 space). In both cases the intersection should be a point, because, again, if one cycle is moved, this would be the intersection. The intersection of two cycles V and W is called proper if the codimension of the (set theoretic) intersection V ∩ W is the sum of the codimensions of V and W, respectively, i. e. the "expected" value. Therefore, the concept of moving cycles using appropriate equivalence relations on algebraic cycles is used. The equivalence must be broad enough that given any two cycles V and W, there are equivalent cycles V′ and W′ such that the intersection V′ ∩ W′ is proper. Of course, on the other hand, for a second equivalent V′′ and W′′, V′ ∩ W′ needs to be equivalent to V′′ ∩ W′′. For the purposes of intersection theory, rational equivalence is the most important one. Briefly, two r dimensional cycles on a variety X are rationally equivalent if there is a rational function f on a (r + 1) dimensional subvariety Y, i. e. an element of the function field k(Y) or equivalently a function f : Y → 'P'^(1), such that 1=V − W = f ^(−1)(0) − f ^(−1)(∞), where f ^(−1)(⋅) is counted with multiplicities. Rational equivalence accomplishes the needs sketched above.
Өзін-өзі қиылысу
V және W екі субвариант берілген жағдайда, олардың V ∩ W қиылысын алуға болады, бірақ бір субварианттың өзіндік қиылысын анықтау да мүмкін, алайда бұл әлдеқайда күрделі. Мысалы, S бетіндегі C қисығын қарастырайық, оның өзімен қиылысуы (жинақтар ретінде) өзімен бірдей болады: 1 = C ∩ C = C. Бұл, әрине, дұрыс, бірақ екінші жағынан толыққанды емес: беттегі кез келген екі әртүрлі қисық (ортақ компоненті жоқ) қандайда бір нүктелер жиынында қиылысады, осы қиылысу нүктелерін санау арқылы қиылысу санын алуға болады, және біз берілген қисық үшін де осылай жасағымыз келеді. Ұқсастық мынада: әртүрлі қисықтардың қиылысуы – екі санды көбейтуге (xy) ұқсас, ал өзіндік қиылысу – бір санды квадраттауға (x²) ұқсас. Формальды түрде, бұл аналогия симметриялық билинейрлік форма (көбейту) және квадраттық форма (квадраттау) арқылы беріледі. Бұл мәселені геометриялық тұрғыдан шешу үшін, C қисығын өзімен емес, одан сәл ығысқан нұсқасымен (C') қиыстыру керек. Жазықтықта бұл C қисығын қандайда бір бағытта жылжытуды білдіреді, ал жалпы жағдайда C-ге сызықтық түрде эквивалентті C' қисығын алып, C · C' қиылысын санау арқылы қиылысу санын анықтаймыз, оны C · C деп белгілейміз. C және D қисықтарының нақты қиылысу нүктелері анықталмайды, өйткені олар C' таңдауына байланысты, бірақ C'' қисығының "өзіндік қиылысу нүктелерін" C қисығындағы k жалпы нүкте ретінде қарастыруға болады, мұнда 1 = k = C · C. Дәлірек айтқанда, C қисығының өзіндік қиылысу нүктесі – C қисығының жалпы нүктесі, C · C еселігімен алынған.
Given two subvarieties V and W, one can take their intersection V ∩ W, but it is also possible, though more subtle, to define the self intersection of a single subvariety. Given, for instance, a curve C on a surface S, its intersection with itself (as sets) is just itself: 1=C ∩ C = C. This is clearly correct, but on the other hand unsatisfactory: given any two distinct curves on a surface (with no component in common), they intersect in some set of points, which for instance one can count, obtaining an intersection number, and we may wish to do the same for a given curve: the analogy is that intersecting distinct curves is like multiplying two numbers: xy, while self intersection is like squaring a single number: x^(2). Formally, the analogy is stated as a symmetric bilinear form (multiplication) and a quadratic form (squaring). A geometric solution to this is to intersect the curve C not with itself, but with a slightly pushed off version of itself. In the plane, this just means translating the curve C in some direction, but in general one talks about taking a curve C′ that is linearly equivalent to C, and counting the intersection C · C′, thus obtaining an intersection number, denoted C · C. Note that unlike for distinct curves C and D, the actual points of intersection are not defined, because they depend on a choice of C′, but the “self intersection points of C′′ can be interpreted as k generic points on C, where 1=k = C · C. More properly, the self intersection point of C is the generic point of C, taken with multiplicity C · C.
Басқаша айтқанда, бұл мәселені алгебралық тұрғыдан "шешуге" (немесе түсіндіруге) болады, оны дуалдап, [C] ∪ [C] класына қарап. Бұл сан береді және геометриялық интерпретация мәселесін тудырады. Когомология кластарына өту қисықты сызықтық жүйемен алмастыруға ұқсас екенін ескеріңіз. Өзіндік қиылысу саны теріс болуы мүмкін екенін, төмендегі мысал көрсетеді.
Alternatively, one can “solve” (or motivate) this problem algebraically by dualizing, and looking at the class of [C] ∪ [C] – this both gives a number, and raises the question of a geometric interpretation. Note that passing to cohomology classes is analogous to replacing a curve by a linear system. Note that the self intersection number can be negative, as the example below illustrates.
Мысалдар
Проекциялық жазықтықтағы P^(2) L сызығын қарастырайық: оның өзін-өзімен қиылысу саны 1, өйткені басқа барлық сызықтар оны бір рет қиып өтеді: L сызығын L' сызығына дейін жылжытуға болады, және 1 = L · L′ = 1 (L' таңдауын қанағаттандырады), сондықтан 1 = L · L = 1. Қиылысу формалары тұрғысынан, жазықтықта x^(2) типіндегі бір форма бар деуге болады (барлық сызықтардың бір класы ғана бар, және олардың барлығы бір-бірімен қиылысады). Аффиндік жазықтықта L сызығын параллель сызыққа жылжытуға болады, сондықтан (геометриялық тұрғыдан ойлағанда) қиылысу нүктелерінің саны жылжыту таңдауына байланысты. «Аффиндік жазықтықта жақсы қиылысу теориясы жоқ» делінеді, ал проективті емес сорттардағы қиылысу теориясы әлдеқайда қиын. P^(1) × P^(1) (сонымен қатар P^(3) проекциялық кеңістігіндегі ерекше емес квадрик Q ретінде де қарастырылуы мүмкін) сызығының өзін-өзімен қиылысуы 0-ге тең, өйткені сызықты өзінен жылжытуға болады. (Бұл басқарылатын бет.) Қиылысу формалары тұрғысынан, P^(1) × P^(1) xy типіндегі формаға ие – екі негізгі сызықтар класы бар, олар бір нүктеде (xy) қиылысады, бірақ өзін-өзімен қиылысуы жоқ (x^(2) немесе y^(2) мүшелері жоқ).
Consider a line L in the projective plane 'P'^(2): it has self intersection number 1 since all other lines cross it once: one can push L off to L′, and 1=L · L′ = 1 (for any choice) of L′, hence 1=L · L = 1. In terms of intersection forms, we say the plane has one of type x^(2) (there is only one class of lines, and they all intersect with each other). Note that on the affine plane, one might push off L to a parallel line, so (thinking geometrically) the number of intersection points depends on the choice of push off. One says that “the affine plane does not have a good intersection theory”, and intersection theory on non projective varieties is much more difficult. A line on a 'P'^(1) × 'P'^(1) (which can also be interpreted as the non singular quadric Q in 'P'^(3)) has self intersection 0, since a line can be moved off itself. (It is a ruled surface.) In terms of intersection forms, we say 'P'^(1) × 'P'^(1) has one of type xy – there are two basic classes of lines, which intersect each other in one point (xy), but have zero self intersection (no x^(2) or y^(2) terms).
Жарылулар
Өзін-өзі қиылысу сандарының маңызды мысалы – бирационалдық геометриядағы негізгі операция болып табылатын жарылудың ерекше қисығы. Алгебралық бет S берілген болса, нүктеде жарылу жасағанда С қисығы пайда болады. Бұл С қисығы өзінің 0 генімен және -1 өзін-өзі қиылысу санымен анықталады. (Бұл түсініксіз.) Сонымен қатар, "P"^(2) және "P"^(1) × "P"^(1) минималды беттер болып табылады (олар жарылу емес), себебі оларда теріс өзін-өзі қиылысу саны бар қисықтар жоқ. Шындығында, Кастельнуовоның қысқарту теоремасы кері тұжырымды айтады: кез келген (-1) қисық – кейбір жарылудың ерекше қисығы болып табылады (оны "қайта құлатуға" болады).
A key example of self intersection numbers is the exceptional curve of a blow up, which is a central operation in birational geometry. Given an algebraic surface S, blowing up at a point creates a curve C. This curve C is recognisable by its genus, which is 0, and its self intersection number, which is −1. (This is not obvious.) Note that as a corollary, 'P'^(2) and 'P'^(1) × 'P'^(1) are minimal surfaces (they are not blow ups), since they do not have any curves with negative self intersection. In fact, Castelnuovo’s contraction theorem states the converse: every (−1) curve is the exceptional curve of some blow up (it can be “blown down”).