Введение

В математике теория пересечений — одна из основных ветвей алгебраической геометрии, предоставляющая информацию о пересечении двух подмногообразий заданного многообразия. Теория для многообразий возникла раньше, восходя своими корнями к теореме Безу о кривых и теории исключения. Топологическая теория, с другой стороны, быстрее приобрела окончательный вид. Развитие теории пересечений продолжается и в настоящее время. Основное внимание уделяется: виртуальным фундаментальным циклам, квантовым кольцам пересечений, теории Громова — Виттена и расширению теории пересечений со схем на стеки.

Передвижные циклы

Для корректной работы механизма пересечения алгебраических циклов V и W недостаточно просто взять теоретико-множественное пересечение V ∩ W рассматриваемых циклов. Если два цикла находятся в "хорошем положении", то произведение пересечения, обозначаемое V · W, должно состоять из теоретико-множественного пересечения двух подмногообразий. Однако циклы могут находиться в плохом положении, например, две параллельные прямые на плоскости или плоскость, содержащая прямую (пересекающиеся в трехмерном пространстве). В обоих случаях пересечение должно быть точкой, поскольку, опять же, если один цикл сдвинуть, то получится это пересечение. Пересечение двух циклов V и W называется собственным, если кодименсия (теоретико-множественного) пересечения V ∩ W равна сумме кодимензий V и W соответственно, то есть "ожидаемому" значению. Поэтому используется концепция сдвига циклов с помощью подходящих отношений эквивалентности на алгебраических циклах. Эквивалентность должна быть достаточно широкой, чтобы для любых двух циклов V и W существовали эквивалентные циклы V′ и W′, такие что пересечение V′ ∩ W′ является собственным. Разумеется, с другой стороны, для другой пары эквивалентных циклов V′′ и W′′, пересечение V′ ∩ W′ должно быть эквивалентно V′′ ∩ W′′. Для целей теории пересечений наиболее важной является рациональная эквивалентность. Вкратце, два r-мерных цикла на многообразии X рационально эквивалентны, если существует рациональная функция f на (r + 1)-мерном подмногообразии Y, то есть элемент поля функций k(Y) или, эквивалентно, функция f : Y → P¹ такая, что V − W = f⁻¹(0) − f⁻¹(∞), где f⁻¹(⋅) подсчитывается с учетом кратностей. Рациональная эквивалентность удовлетворяет вышеописанным требованиям.

Саморезание

При наличии двух подвидов V и W можно взять их пересечение V ∩ W, но также можно, хотя и более тонко, определить самопересечение одной подвидности. Например, если взять кривую C на поверхности S, то её пересечение с самой собой (как с множествами) равно самой себе: 1 = C ∩ C = C. Это явно верно, но с другой стороны неудовлетворительно: если взять любые две различные кривые на поверхности (без общих компонент), они пересекаются в некотором наборе точек, которые, например, можно посчитать, получив число пересечений, и мы можем сделать то же самое для данной кривой: аналогия заключается в том, что пересечение различных кривых подобно умножению двух чисел: xy, в то время как самопересечение подобно квадратированию одного числа: x². Формально аналогия выражается как симметричная двулинейная форма (умножение) и квадратная форма (возведение в квадрат). Геометрическое решение этого вопроса состоит в том, чтобы пересечь кривую C не с самой собой, а со слегка сдвинутой версией себя. В плоскости это просто означает сдвиг кривой C в некотором направлении, но в общем случае речь идет о том, чтобы взять кривую C′, которая линейно эквивалентна C, и подсчитать пересечение C · C′, таким образом получив число пересечений, обозначенное C · C. Обратите внимание, что в отличие от различных кривых C и D, фактические точки пересечения не определены, поскольку они зависят от выбора C′, но «точки самопересечения C′» можно интерпретировать как k общих точек на C, где 1 = k = C · C. Более точно, точка самопересечения C является общей точкой C, взятой с кратностью C · C.

Альтернативно, можно «решить» (или мотивировать) эту проблему алгебраически, используя дуализацию и рассматривая класс [C] ∪ [C] – это дает и число, и ставит вопрос о геометрической интерпретации. Обратите внимание, что переход к классам когомологий аналогичен замене кривой линейной системой. Обратите внимание, что число самопересечений может быть отрицательным, как показано в примере ниже.

Примеры

Рассмотрим линию L в проективной плоскости P²: она имеет число самопересечения 1, поскольку все остальные линии пересекают её один раз: можно сдвинуть L в L′, и 1 = L · L′ = 1 (при любом выборе) L′, следовательно 1 = L · L = 1. В терминах форм пересечения, мы говорим, что плоскость имеет тип x². (Существует только один класс линий, и все они пересекаются друг с другом). Обратите внимание, что на аффинной плоскости можно сдвинуть L в параллельную линию, поэтому (рассуждая геометрически) число точек пересечения зависит от выбора сдвига. Говорят, что аффинная плоскость не обладает развитой теорией пересечений, а теория пересечений на непроективных многообразиях значительно сложнее. Линия на P¹ × P¹ (которую также можно интерпретировать как несущественную квадрику Q в P³), имеет число самопересечения 0, поскольку линию можно сдвинуть от себя. (Это линейчатая поверхность). В терминах форм пересечения, мы говорим, что P¹ × P¹ имеет тип xy – существуют два основных класса линий, которые пересекаются друг с другом в одной точке (xy), но не имеют самопересечения (нет членов x² или y²).

Взрывы

Ключевым примером чисел самопересечения является исключительная кривая при взрыве, являющаяся центральной операцией в бирациональной геометрии. Для алгебраической поверхности S взрыв в точке создает кривую C. Эта кривая C характеризуется своим родом, равным 0, и своим числом самопересечения, равным −1. (Это не очевидно.) Важно отметить, что, как следствие, P² и P¹ × P¹ являются минимальными поверхностями (они не являются результатом взрыва), поскольку не содержат кривых с отрицательным числом самопересечения. Фактически, теорема о стягивании Кастельнуово утверждает обратное: любая кривая с числом самопересечения −1 является исключительной кривой некоторого взрыва (её можно стянуть).