Кіріспе
Математикалық ұғым
Топтар теориясында, дәлірек айтқанда геометриялық топтар теориясында гиперболалық топ, сондай-ақ сөздік гиперболалық топ немесе Громов гиперболалық тобы деп аталатын топ, классикалық гиперболалық геометриядан алынған белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын сөздік метрикамен жабдықталған, шекті түрде жасалған топ болып табылады. Гиперболалық топтар туралы ұғымды енгізген және дамытқан – Громов. Оған шабыдан әртүрлі математикалық теориялар болды: гиперболалық геометрия, сондай-ақ төмен өлшемді топология (әсіресе Макс Дехннің гиперболалық Риманн бетінің фундаменталды тобы және үш өлшемді топологиядағы күрделі құбылыстар туралы нәтижелері), және комбинаторлық топтар теориясы. 1987 жылғы өте әсерлі (1000-нан астам сілтеме) тарауда Громов кең ауқымды зерттеу бағдарламасын ұсынды. Гиперболалық топтар теориясындағы идеялар мен негізгі материалдар Джордж Мостоу, Уильям Терстон, Джеймс В. Кэннон, Элияху Рипс және тағы басқалардың еңбектерінен туындайды.
Ескертпелер
Шварц-Милнор леммасы бойынша, егер топ дұрыс ұзындығы бар кеңістікте дұрыс үзіліссіз әрекет етсе және оның үлесі тығыз болса (мұндай әрекет көбінесе геометриялық деп аталады), онда ол шекті түрде туындайды, ал кез келген Кейли графигі оған квазиизометриялық болады. Сондықтан, топ гиперболалық болады, егер және ғана егер ол дұрыс гиперболалық кеңістікте геометриялық әрекетке ие болса. Егер топтың шекті индексі бар (яғни, жиыны шекті) кіші тобы болса, онда кіріктіру кез келген жергілікті шекті Кейли графигінің кез келген жергілікті шекті Кейли графигінің төбелерінде квазиизометрияны тудырады. Демек, топ гиперболалық болады, егер және ғана егер өзі гиперболалық болса. Көбірек айтқанда, егер екі топ өлшемді болса, онда біреуі гиперболалық болса, екіншісі де гиперболалық болады.
Элементар гиперболалық топтар
Гиперболалық топтардың ең қарапайым мысалдары – шекті топтар (олардың Кейли графиктері шекті диаметрге ие, сондықтан гиперболалық, және гиперболизмі осы диаметрға тең). Тағы бір қарапайым мысал – шексіз циклдік топ: генераторлық жиынға қатысты оның Кейли графигі түзу сызық болып табылады, сондықтан барлық үшбұрыштар түзу кесінділері болып табылады және график гиперболалық. Осыдан, кез келген дерлік циклдік топ (шекті индекспен циклдік топтың көшірмесін қамтитын) сонымен қатар гиперболалық болады, мысалы, шексіз диэдрлік топ. Осы топтар класындағы топтар көбінесе элементарлық гиперболалық топтар деп аталады (терминология гиперболалық жазықтықтағы әрекеттерге сәйкес келеді).
Еркін топтар және ағаштарға әсер ететін топтар
Болсын – шекті жиын, ал – тудырушы жиынтығы бар еркін топ. Онда – топтың – қатысты Cayley графигі жергілікті шекті ағаш болып табылады, демек 0 гиперболалық кеңістік. Осылайша, – гиперболалық топ. Көбінесе, кез келген топ, егер ол жергілікті шекті ағашта дұрыс үзіліссіз әрекет етсе (бұл контексте, төбелерінің тұрақтандырғыштары шекті дегенді білдіреді), гиперболалық болады. Шындығында, бұл оның компакт бөлігімен әрекет ететін инвариантты субағашы бар екендігінен және Svarc–Milnor леммасынан туындайды. Мұндай топтар, шын мәнінде, дерлік еркін (яғни, шекті индекске ие шекті түрде құрылған еркін кіші тобы бар), бұл олардың гиперболалық екендігінің тағы бір дәлелін береді. Қызықты мысал – модульдік топ: ол гиперболалық жазықтықтың гиперболалық жазықтықтың 1-скелетімен берілген ағашта әрекет етеді және 6 индексі бар шекті индекссіз кіші тобы бар (екі генераторда) (мысалы, 2 модулі бойынша сәйкестікке дейін азайтылатын матрицалар жиыны – осындай топ). Бұл мысалдың бір қызықты ерекшелігіне назар аударыңыз: ол гиперболалық кеңістікте (гиперболалық жазықтықта) дұрыс үзіліссіз әрекет етеді, бірақ әрекет компактты емес (дегенмен ол гиперболалық жазықтыққа квазиизометриялық емес).
Фуксиандық топтар
Модульдік топ мысалын жалпылағанда, Фуксиан тобы – гиперболалық жазықтықта дұрыс үздіксіз әрекетке ие болатын топ (әлдебір дискретті кіші топ ретінде де қарастырылады). Гиперболалық жазықтық – гиперболалық кеңістік, сондықтан Сварц-Мильнор леммасы кокомпакт Фуксиан топтарының гиперболалық екенін көрсетеді. Мұндай топтардың мысалы – теріс Эйлер сипаттамасы бар жабық беттердің негізгі топтары. Шындығында, бұл беттерді Поанкаре-Кобе біртектілік теоремасы көрсеткендей, гиперболалық жазықтықтың бөлігі ретінде алуға болады. Кокомпакт Фуксиан топтарының тағы бір мысалдары үшбұрыш топтарымен беріледі: олардың шекті саны ғана гиперболалық емес.
Теріс қисықтық
Жабық беттер мысалында жалпылау жүргізсек, қатаң теріс қималық қисықтығы бар ықшам Риман көптүрліліктерінің негізгі топтары гиперболалық болады. Мысалы, ортогоналды немесе унитарлық топтардағы белгілі бір қолтаңбаны сақтайтын кокомпактты торлар гиперболалық болып табылады. Одан әрі жалпылау, CAT(k) кеңістігінде геометриялық әрекетке ие топтар арқылы беріледі, мұнда k – кез келген теріс сан. Бұрынғы құрылымдардың ешқайсысына да сәйкес келмейтін мысалдар бар (мысалы, гиперболалық құрылымдарда геометриялық әрекет ететін топтар).
Кішігірім жою топтары
Кішігірім жою шарттарын қанағаттандыратын презентациялары бар топтар гиперболалық болады. Бұл жоғарыда айтылғандар сияқты геометриялық негізі жоқ мысалдардың көзін ұсынады. Шындығында, гиперболалық топтарды бастапқыда дамытудың бірі – кішігірім жоюды геометриялық тұрғыдан түсіндіру еді.
Кездейсоқ топтар
Кейбір жағдайларда, үлкен анықтамалық қатынастары бар көптеген шекті ұсынылған топтар гиперболалық болып табылады. Бұл туралы сандық тұрғыдан нақтырақ білу үшін Random group деген мақалаға қараңыз.
Үлгі емес
Гиперболалық емес топтың ең қарапайым мысалы – еркін 2-дәрежелі абельдік топ. Шындығында, ол Евклид жазықтығына квазиизометриялық, ал ол гиперболалық емес екенін оңай көруге болады (мысалы, гомотетиялардың болуына байланысты). Жалпы алғанда, құрамында кіші топ ретінде болатын кез келген топ гиперболалық емес. Атап айтқанда, жоғары дәрежелі жартылай қарапайым Ли топтарындағы торлар және тривиалды емес түйіндік толықтырулардың негізгі топтары осы санатқа жатады, демек, гиперболалық емес. Бұл жабық гиперболалық беттердің сыныптық топтарын бейнелеу үшін де дұрыс. Баумслаг-Солитар топтары B(m,n) және B(m,n)-ге изоморфты кіші топты қамтитын кез келген топ гиперболалық бола алмайды (өйткені B(1,1) =, бұл бұрынғы мысалды жалпылайды). 1-дәрежелі қарапайым Ли тобындағы біркелкі емес тор гиперболалық болады, егер және тек қана егер топ изогенді болса (әйтпесе, байланысты симметриялық кеңістік гиперболалық жазықтық болады). Бұған мысал ретінде гиперболалық түйін топтарын келтіруге болады. Тағы бір мысал – Бьянки топтары, мысалы .
Алгебралық қасиеттер
Гиперболалық топтар Титс альтернативасын қанағаттандырады: олар дерлік шешілетін болады (бұл мүмкіндік тек элементарлық гиперболалық топтарға ғана тән) немесе оларда бейбелиандық еркін топқа изоморфты кіші топ болады. Элементар емес гиперболалық топтар өте күшті мағынада қарапайым емес: егер топ элементар емес гиперболалық болса, онда шексіз кіші топ бар, сондай-ақ бұл кіші топтың өзі де шексіз. Қалдық шектілікке ие емес гиперболалық топтың бар-жоғы әлі белгісіз.
Геометриялық қасиеттері
Элементар емес (шексіз және дерлік циклдік емес) гиперболалық топтардың өсу қарқыны әрқашан экспоненциалды болады (бұл Титс альтернативасының салдары). Гиперболалық топтар сызықтық изопериметриялық теңсіздікті орындайды.
Гомологиялық қасиеттері
Гиперболалық топтар әрқашан шекті түрде ұсынылады. Шындығында, жиырылатын және топтың геометриялық әрекет ететін (Rips кешені) кешенін нақты құрастыруға болады, сондықтан ол F∞ типінде болады. Егер топ бұралусыз болса, әрекет еркін болады, бұл топтың когомологиялық өлшемінің шекті екенін көрсетеді. 2002 жылы И. Минеев гиперболалық топтардың дәл сол шекті түрде жасалған топтар екенін көрсетті, олар үшін шектелген когомология мен обычайы когомология арасындағы салыстыру картасы барлық дәрежеде, немесе эквивалентті түрде 2-дәрежеде сюръективті болады.
Алгоритмдік қасиеттері
Гиперболалық топтардың шешілетін сөз мәселесі бар. Олар екі автоматты және автоматты. Нақтырақ айтқанда, олар күшті геодезиялық автоматты, яғни топта автоматты құрылым бар, онда сөз қабылдағышы қабылдайтын тіл – барлық геодезиялық сөздер жиыны. 2010 жылы гиперболалық топтардың шешілетін белгіленген изоморфизм мәселесі бар екені дәлелденді. Бұл изоморфизм мәселесінің, орбиталық мәселелердің (әсіресе конъюгация мәселесі) және Уайтхед мәселесінің барлығының шешілетінін көрсетеді. Кэннон мен Свенсон шексіздікте 2 сферасы бар гиперболалық топтардың табиғи бөлу ережесі бар екенін көрсетті. Бұл Кэннонның болжамымен байланысты.
Салыстырмалы гиперболалық топтар
Салыстырмалы гиперболалық топтар – гиперболалық топтарды жалпылайтын топтар класы болып табылады. Өте шамамен айтқанда, топ `G` `H` топтарының жинағына қатысты гиперболалық болып есептеледі, егер ол `X` гиперболалық кеңістігінде дұрыс үздіксіз әрекетті қабылдаса, бұл әрекет `X` кеңістігінің шекарасында "жақсы" болады және `G` топтарындағы шекарадағы нүктелердің тұрақтандырғыштары `H` жинағындағы топтар болып табылады. Бұл `G` және `X` кеңістігіндегі `G` әрекеті екеуі де элементар емес болғанда қызықты (әсіресе, `G` шексіз: мысалы, әрбір топ өзіне қатысты бір нүктедегі әрекеті арқылы гиперболалық болады!). Бұл кластағы қызықты мысалдарға, атап айтқанда, 1-ші дәрежелі жартылай қарапайым Ли топтарының біркелкі емес торлары жатады, мысалы, шекті көлемді, компактты емес гиперболалық көптүрлілердің негізгі топтары. Мысал емес мысалдар – жоғары дәрежелі Ли топтары мен карталау кластары топтарының торлары.
Ацилиндрлік гиперболалық топтар
Тіпті одан да жалпы түсінік – ацилиндрлік гиперболалық топ. Метрлік кеңістікте топтың әрекетінің ацилиндрлігі – әрекеттің қатаң үздіксіздігінің әлсіреуі. Егер топ (қажет емес) Громов гиперболалық кеңістігінде элементар емес ацилиндрлік әрекетке ие болса, онда ол ацилиндрлік гиперболалық топ деп аталады. Бұл түсінік қисық кешендердегі әрекеттері арқылы карталау кластары топтарын қамтиды. Жоғары дәрежелі Ли топтарының торлары (әлі де!) ацилиндрлік гиперболалық емес.
КАТ ((0) топтары
Басқа бағытта жоғарыдағы мысалдардағы қисықтық туралы болжамды әлсіретуге болады: CAT(0) тобы – CAT(0) кеңістігінде геометриялық әрекетке ие топ. Бұған Евклидтік кристаллографиялық топтар және жоғары дәрежелі Ли топтарындағы біркелкі торлар жатады. Гиперболалық топтың CAT(0) еместігі белгісіз.