Введение

Математическая концепция

В теории групп, точнее в геометрической теории групп, гиперболическая группа, также известная как группа гиперболического типа или группа Громова, является конечно порожденной группой, снабженной метрикой слова, удовлетворяющей определенным свойствам, обобщающим свойства классической гиперболической геометрии. Понятие гиперболической группы было введено и развито Михаилом Громовым. Вдохновение пришло из различных существующих математических теорий: гиперболической геометрии, а также низкоразмерной топологии (в частности, результатов Макса Дена относительно фундаментальной группы гиперболической поверхности Римана и более сложных явлений в трехмерной топологии), и комбинаторной теории групп. В очень влиятельной (с более чем 1000 цитированиями) главе 1987 года Громов предложил широкую исследовательскую программу. Идеи и основополагающие материалы в теории гиперболических групп также берут начало в работах Джорджа Мостоу, Уильяма Терстона, Джеймса В. Каннона, Элиягу Рипса и многих других.

Замечания

Лемма Шварца — Милнора утверждает, что если группа действует правильно, с разрывами и с компактным частным (такое действие часто называют геометрическим) на собственном метрическом пространстве с длиной, то она конечно порождена, и любой граф Кейли для квазиизометричен к . Таким образом, группа является (конечно порожденной и) гиперболической тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие на собственном гиперболическом пространстве. Если является подгруппой с конечным индексом (то есть множество конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кейли в любой локально конечный граф Кейли . Следовательно, гиперболическая тогда и только тогда, когда гиперболической является сама . В более общем случае, если две группы соизмеримы, то одна из них гиперболическая тогда и только тогда, когда гиперболической является другая.

Элементарные гиперболические группы

Самые простые примеры гиперболических групп — это конечные группы (графы Кейли которых имеют конечный диаметр, следовательно, они гиперболические, где δ равен этому диаметру). Другой простой пример представляет собой бесконечная циклическая группа: граф Кейли этой группы относительно генерирующего множества является линией, поэтому все треугольники — это отрезки прямой, и граф гиперболичен. Отсюда следует, что любая группа, которая является практически циклической (содержит копию бесконечной циклической группы конечного индекса), также является гиперболической, например, бесконечная диэдральная группа. Группы этого класса часто называют элементарными гиперболическими группами (терминология заимствована из терминологии, используемой для описания действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревья

Пусть – конечное множество, а – свободная группа с образующим множеством . Тогда граф Кейли группы относительно является локально конечным деревом и, следовательно, 0-гиперболическим пространством. Таким образом, является гиперболической группой. В более общем случае, любая группа , действующая корректно разрывно на локально конечном дереве (в данном контексте это означает, что стабилизаторы вершин в конечны), является гиперболической. Действительно, это следует из того факта, что у есть инвариантное поддерево, на котором она действует с компактным частным отношением, и леммы Сварца — Милнора. Такие группы фактически виртуально свободны (т.е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности. Интересным примером является модульная группа : она действует на дерево, заданное 1-скелетом ассоциированной тесселяции гиперболической плоскости, и имеет свободную подгруппу конечного индекса (порожденную двумя элементами) индекса 6 (например, множество матриц, сводящихся к единичной матрице по модулю 2, является такой подгруппой). Обратите внимание на интересную особенность этого примера: она действует корректно разрывно на гиперболическом пространстве (гиперболической плоскости), но действие не является кокомпактным (и, действительно, не квазиизометрична гиперболической плоскости).

Группы Фукса

Обобщая пример модульной группы, группа Фукса — это группа, допускающая корректное неразрывное действие на гиперболической плоскости (эквивалентно, дискретную подгруппу группы ). Гиперболическая плоскость является гиперболическим пространством, и, следовательно, лемма Сварца — Милнора утверждает, что кокомпактные группы Фукса являются гиперболическими. Примерами таких групп служат фундаментальные группы замкнутых поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой. Действительно, эти поверхности можно получить как фактор-пространства гиперболической плоскости, что следует из теоремы об униформизации Пуанкаре — Кёбе. Другой класс примеров кокомпактных групп Фукса представлен треугольными группами: все, кроме конечного числа, являются гиперболическими.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных римановых многообразий со строго отрицательной секционной кривизной являются гиперболическими. Например, кокомпактные решетки в ортогональной или унитарной группе, сохраняющие форму сигнатуры, являются гиперболическими. Дальнейшее обобщение дают группы, допускающие геометрическое действие на пространстве CAT(k), где k – любое отрицательное число. Существуют примеры, которые не соизмеримы ни с одной из предыдущих конструкций (например, группы, действующие геометрически на гиперболических зданиях).

Малые группы отмены

Группы, имеющие представления, удовлетворяющие условиям малых сокращений, являются гиперболическими. Это предоставляет источник примеров, не имеющих геометрической природы, в отличие от приведенных выше. Фактически, одной из причин первоначальной разработки теории гиперболических групп было стремление дать более геометрическую интерпретацию малых сокращений.

Случайные группы

В некотором смысле, "большинство" конечно представленных групп с большим количеством определяющих соотношений являются гиперболическими. Для количественной оценки этого утверждения обратитесь к работе "Случайная группа".

Непримеры

Самый простой пример группы, которая не является гиперболической, — это свободная абелева группа ранга 2. Действительно, она квазиизометрична евклидовой плоскости, которая очевидно не является гиперболической (например, из-за существования гомотетий). В более общем случае, любая группа, содержащая в качестве подгруппы, не является гиперболической. В частности, решетки в полупростых группах Ли более высокого ранга и фундаментальные группы нетривиальных дополнений к узлам попадают в эту категорию и, следовательно, не являются гиперболическими. Это также верно для групп классов отображений замкнутых гиперболических поверхностей. Группы Баумслага — Солитара B(m,n) и любая группа, содержащая подгруппу, изоморфную некоторой B(m,n), не являются гиперболическими (поскольку B(1,1) = , это обобщает предыдущий пример). Неравномерная решетка в простой группе Ли ранга 1 является гиперболической тогда и только тогда, когда группа изогенна (эквивалентно, соответствующее симметрическое пространство является гиперболической плоскостью). Примером этого служат гиперболические группы узлов. Другой пример — группы Бьянки, например .

Алгебраические свойства

Гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса: они либо виртуально разрешимы (эта возможность реализуется только для элементарных гиперболических групп), либо содержат подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе. Неэлементарные гиперболические группы не являются простыми в сильном смысле: если группа неэлементарная гиперболическая, то существует бесконечная подгруппа такая, что и являются бесконечными. Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, не являющаяся остаточно конечной.

Геометрические свойства

Неэлементарные (бесконечные и не виртуально циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса). Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству.

Гомологические свойства

Гиперболические группы всегда конечно представимы. Более того, можно явно построить комплекс (комплекс Рипса), который является стягиваемым и на котором группа действует геометрически, следовательно, он имеет тип F∞. Если группа не содержит кручения, то действие свободно, что показывает, что группа имеет конечную кохомологическую размерность. В 2002 году И. Минеев доказал, что гиперболические группы — это ровно те конечно порожденные группы, для которых карта сравнения между ограниченной и обычной когомологиями сюръективна во всех степенях, или, эквивалентно, во второй степени.

Алгоритмические свойства

Гиперболические группы имеют решаемую словесную проблему. Они биавтоматичны и автоматичны. Действительно, они сильно геодезически автоматичны, то есть существует автоматическая структура на группе, где язык, принимаемый словесным автоматом, является множеством всех геодезических слов. Было показано в 2010 году, что гиперболические группы имеют решаемую задачу об отмеченном изоморфизме. Важно отметить, что это означает, что задача об изоморфизме, задачи об орбитах (в частности, задача о сопряженности) и проблема Уайтхеда – все решаемы. Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с 2-сферой на бесконечности обладают естественным правилом подразделения. Это связано с гипотезой Кэннона.

Относительно гиперболические группы

Относительно гиперболические группы — это класс, обобщающий гиперболические группы. В очень грубом приближении, группа G является гиперболической относительно коллекции подгрупп H, если она допускает (не обязательно сокомпактное) собственное непериодическое действие на собственном гиперболическом пространстве X, которое "хорошо" ведёт себя на границе X и такое, что стабилизаторы в G точек на границе являются подгруппами из H. Это интересно, когда как G, так и действие G на X не являются элементарными (в частности, G бесконечна: например, каждая группа является гиперболической относительно себя посредством своего действия на одну точку!). Интересные примеры в этом классе включают, в частности, неравномерные решетки в полупростых группах Ли ранга 1, например, фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Примерами, не попадающими в этот класс, являются решетки в группах Ли более высокого ранга и группы классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общим понятием является понятие ацилиндрически гиперболической группы. Ацилиндричность действия группы на метрическом пространстве — это ослабление свойства правильной несвязности действия. Группу называют ацилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное ацилиндрическое действие на (не обязательно правильное) гиперболическое пространство Громова. Это понятие включает в себя группы классов отображений посредством их действий на комплексах кривых. Сетки в группах Ли более высокого ранга (все еще!) не являются ацилиндрически гиперболическими.

Группы CAT ((0)

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в вышеприведенных примерах: группа CAT(0) — это группа, допускающая геометрическое действие на пространстве CAT(0). Это включает в себя евклидовы кристаллографические группы и однородные решетки в группах Ли более высокого ранга. Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, которая не является CAT(0).