Кіріспе

Бір түзуде жатқан нүктелердің қасиеттері. Геометрияда нүктелер жиынының коллинеарлығы – олардың барлығының бір түзуде жату қасиеті. Осы қасиетке ие нүктелер жиыны коллинеар деп аталады (кейде коллинеар деп те жазылады). Көбірек жалпылама түрде, бұл термин қатар тізілген объектілер үшін де қолданылады, яғни "бір қатарда" немесе "тізбектей" орналасқан заттар үшін.

Сызықтағы нүктелер

Кез келген геометрияда түзудегі нүктелер жиыны коллинеар деп аталады. Евклид геометриясында бұл қатынас "түзу сызықта" қатар орналасқан нүктелер арқылы түсіндіріледі. Дегенмен, көптеген геометрияларда (Евклид геометриясын қоса алғанда) түзу – бастапқы (анықталмаған) нысан түрі болып табылады, сондықтан мұндай бейнелеулер міндетті түрде дұрыс болмайды. Геометрияның моделі нүктелердің, түзулердің және басқа нысан түрлерінің бір-бірімен қалай байланысқанын көрсетеді, ал коллинеарлық сияқты ұғымды осы модельдің контекстінде түсіндіру қажет. Мысалы, сфералық геометрияда, стандартты модельде түзулер сфераның үлкен шеңберлері арқылы бейнеленгенде, коллинеар нүктелер жиыны бір үлкен шеңберде жатады. Мұндай нүктелер Евклидтік мағынада "түзу сызықта" жатпайды және қатарда деп есептелмейді. Геометрияны өзіне бейнелейтін және түзулерді түзулерге жіберетін түрлендіру коллинеация деп аталады; ол коллинеарлық қасиетін сақтайды. Геометриялық түрлендірулер ретінде қаралатын векторлық кеңістіктердің сызықтық түрлендірулері (немесе сызықтық функциялары) түзулерді түзулерге бейнелейді, яғни олар коллинеар нүктелер жиынын коллинеар нүктелер жиынына бейнелейді, демек, олар коллинеация болып табылады. Проективтік геометрияда мұндай сызықтық түрлендірулер гомография деп аталады және олар коллинеацияның бір түрі ғана.

Төртбұрышты

Қиыршықты төртбұрыш ABCD-де, қарама-қарсы жақтары Е және F нүктелерінде қиылысады, орта нүктелері бір түзудің бойында жатады және осы түзу Ньютон түзуі деп аталады. Егер төртбұрыш жанама төртбұрыш болса, онда оның ішкі центрі де осы түзуде жатады. Қиыршықты төртбұрышта квазиортоцентр H, "ауданының центриуі" G және квазишеңбер центрі O осы ретпен бір түзудің бойында болады және (Қиыршықты#Қиыршықты төртбұрыштағы ерекше нүктелер мен түзулер қараңыз.) Жанама төртбұрыштың басқа коллинеарлықтары Жанама төртбұрыш#Коллинеарлық нүктелерде берілген. Шеңберге ішкі жатқан төртбұрышта, шеңбер центрі, төбе центриуі (екі бимедиананың қиылысуы) және антицентр бір түзудің бойында болады. Шеңберге ішкі жатқан төртбұрышта, аудан центриуі, төбе центриуі және диагональдардың қиылысуы коллинеар болады. Жанама трапецияда, ішкі шеңбердің екі табанына жанасу нүктелері, ішкі центрмен бір түзудің бойында жатады. Жанама трапецияда, қабырғалардың орта нүктелері ішкі центрмен бір түзудің бойында жатады.

Алтыбұрыштар

Паскаль теоремасы (сонымен қатар Hexagrammum Mysticum теоремасы деп те аталады) конус қимасында (яғни эллипс, парабола немесе гипербола) кез келген алты нүкте таңдалып, олар кез келген ретпен сызықтармен қосылып, алтыбұрыш құрылса, онда алтыбұрыштың қарама-қарсы жақтарының үш жұбы (қажет болған жағдайда ұзартылса) бір түзуде жатқан үш нүктеде қиылысады. Бұл түзу алтыбұрыштың Паскаль түзуі деп аталады. Кері теорема да дұрыс: Брайкенридж-Маклорин теоремасына сәйкес, егер алтыбұрыштың қарама-қарсы жақтары арқылы өтетін үш жұп түзудің үш қиылысу нүктесі бір түзуде жатса, онда алтыбұрыштың алты төбесі конус қимасында жатады, бұл Паппустың алтыбұрыш теоремасындағыдай дегенеративті болуы мүмкін.

Конустық кесінділер

Монге теоремасы бойынша, жазықтықтағы кез келген үш шеңбер үшін, ешқайсысы екіншісінің ішіне толығымен сыймайтын болса, әрқайсысы екі шеңберге сыртқы түрде жанама болатын үш жұп түзудің қиылысу нүктелері бір түзудің бойында жатады. Эллипсте ортасы, екі фокусы және ең кішкентай қисықтық радиусы бар екі төбесі бір түзудің бойында жатады, сондай-ақ ортасы және ең үлкен қисықтық радиусы бар екі төбесі де бір түзудің бойында жатады. Гиперболаның ортасы, екі фокусы және екі төбесі бір түзудің бойында жатады.

Шұңқырлар

Біркелкі тығыздықтағы конус тәрізді дененің масса орталығы негізінің ортасынан жоғары қарай, төбесіне дейінгі түзудің төрттен бір бөлігінде орналасқан.

Тетраэдрлер

Тетраэдрдің центроиды – оның Монге нүктесі мен сырттай ортасының арасындағы орта нүктесі болып табылады. Бұл нүктелер тетраэдрдің Эйлер сызығын анықтайды, бұл үшбұрыштың Эйлер сызығына ұқсас. Тетраэдрдің он екі нүктелі сферасының центрі де Эйлер сызығында орналасқан.

Жұптық арақашықтығы берілген нүктелердің коллинеарлығы

Кем дегенде үш түрлі нүктеден тұратын жиынтық тік деп аталады, яғни барлық нүктелер бір түзудің бойында жатыр, егер және тек егер осы нүктелердің кез келген үшеуі үшін А, В, С, Кейли-Менгер детерминантының келесі детерминанты нөлге тең болса (d(AB) А мен В арасындағы қашықтықты білдіреді, және т.б.):

Бұл детерминанта Герон формуласы бойынша, d(AB), d(BC), d(AC қабырғалары бар үшбұрыштың ауданының квадратына тең, −16 есеге көбейтілген; сондықтан бұл детерминанты нөлге тең екенін тексеру, A, B, C төбелері бар үшбұрыштың ауданы нөлге тең екенін тексерумен бірдей (яғни төбелер бір түзудің бойында жатыр). Балама ретінде, кем дегенде үш түрлі нүктелер жиынтығы бір түзудің бойында жатыр, егер және тек қана, d(AC) d(AB) және d(BC) әрқайсысынан үлкен немесе тең болатын A, B, C нүктелерінің кез келгені үшін d(AC) ≤ d(AB) + d(BC) үшбұрыш теңсіздігі теңдікпен орындалса.

Сандар теориясы

Екі сан m және n өзара жай емес – яғни, олардың 1-ден басқа ортақ бөлгіші бар – егер және тек қана егер (0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n) төбелері бар квадрат торда салынған тіктөртбұрыштың ішінде кем дегенде бір ішкі нүкте (0, 0) және (m, n) нүктелері арқылы өтетін түзу бойында жатса.

Бірлескен (жатық екілік)

Түрлі жазықтық геометрияларда "нүктелер" мен "сызықтардың" рөлдерін өзара алмастыру, олардың арасындағы қатынасты сақтай отырып, жазықтық дуалдығы деп аталады. Бір түзу бойында жатқан нүктелер жиыны берілген болса, жазықтық дуалдығы арқылы барлығы бір нүктеде қиылысатын түзулер жиыны алынады. Бұл түзулер жиынының (бір нүктеде қиылысу) қасиеті бірдей түйісу деп аталады, ал түзулер бірдей түйісетін түзулер деп аталады. Осылайша, бірдей түйісу – бір түзу бойында жатудың жазықтық дуалдығы болып табылады.

Көлінірлік графигі

Берілген P бөлшек геометриясында, егер екі нүкте ең көп дегенде бір түзуді анықтаса, P-нің коллинеарлық графигі – бұл P нүктелері төбелері болатын график, онда екі төбе P-де түзуді анықтаса ғана қосымша болады.

Антенна массивтері

Телекоммуникация саласында коллинеарлық (немесе колинеарлық) антенна массиві – әр антеннаның сәйкес элементтері параллель және бір түзу бойында орналасқан, яғни олар ортақ сызық немесе ось бойымен орналасқан дипольдік антенналар массиві.

Фотография

Коллинеарлық теңдеулер – фотограмметрияда және компьютерлік стерео көруде қолданылатын екі теңдеудің жиынтығы, олар сурет (сенсор) жазықтығындағы (екі өлшемде) координаттарды объектінің координаттарымен (үш өлшемде) байланыстырады. Фотографиялық жағдайда, теңдеулер объектінің нүктесінің камераның оптикалық центрі арқылы сурет (сенсор) жазықтығындағы бейнеге проекциялануы есебінен туындайды. Объект нүктесі, бейне нүктесі және оптикалық центр – әрқашан бір түзудің бойында жататын үш нүкте. Басқаша айтқанда, объект нүктелерін олардың бейне нүктелерімен қосатын кесінділердің бәрі оптикалық центрде қиылысады.