Введение
Свойство точек, все лежащих на одной прямой.
В геометрии коллинеарность множества точек – это свойство этих точек лежать на одной прямой. Множество точек, обладающее этим свойством, называется коллинеарным (иногда также коллинеарным). В более широком смысле этот термин используется для обозначения выстроенных в линию объектов, то есть объектов, находящихся "на одной линии" или "в ряд".
Точки на линии
В любой геометрии множество точек, лежащих на одной прямой, называется коллинеарным. В евклидовой геометрии это отношение интуитивно представляется точками, расположенными в ряд на "прямой линии". Однако в большинстве геометрий (включая евклидову) прямая обычно является примитивным (неопределённым) типом объекта, поэтому подобные представления не всегда уместны. Модель геометрии предлагает интерпретацию взаимосвязи между точками, прямыми и другими типами объектов, и понятие коллинеарности должно интерпретироваться в контексте этой модели. Например, в сферической геометрии, где прямые в стандартной модели представлены большими кругами сферы, коллинеарные множества точек лежат на одном и том же большом круге. Эти точки не лежат на "прямой линии" в евклидовом смысле и не рассматриваются как расположенные в ряд. Отображение геометрии на саму себя, которое переводит прямые в прямые, называется коллинеацией; оно сохраняет свойство коллинеарности. Линейные отображения (или линейные функции) векторных пространств, рассматриваемые как геометрические преобразования, переводят прямые в прямые; то есть они переводят коллинеарные множества точек в коллинеарные множества точек и, следовательно, являются коллинеациями. В проективной геометрии эти линейные отображения называются гомографиями и представляют собой лишь один из видов коллинеаций.
Четырехсторонние
В выпуклом четырёхугольнике ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках E и F, средние точки сторон AB и CD коллинеарны, а линия, проходящая через них, называется линией Ньютона. Если четырёхугольник является касательным, то его центр вписанной окружности также лежит на этой прямой. В выпуклом четырёхугольнике квазиортоцентр H, "центроид площади" G и квазициркумцентр O коллинеарны в этом порядке, и (см. Четырёхугольник#Замечательные точки и линии в выпуклом четырёхугольнике). Другие коллинеарности касательного четырёхугольника приведены в Касательный четырёхугольник#Коллинеарные точки. В циклическом четырёхугольнике центр описанной окружности, центроид вершин (точка пересечения двух бимедиан) и антицентр коллинеарны. В циклическом четырёхугольнике центроид площади, центроид вершин и точка пересечения диагоналей коллинеарны. В касательной трапеции точки касания вписанной окружности с двумя основаниями коллинеарны с центром вписанной окружности. В касательной трапеции средние точки боковых сторон коллинеарны с центром вписанной окружности.
Шестиугольники
Теорема Паскаля (также известная как теорема о Мистическом шестиугольнике) утверждает, что если выбрать шесть произвольных точек на коническом сечении (то есть эллипсе, параболе или гиперболе) и соединить их отрезками в любом порядке, чтобы образовать шестиугольник, то три пары противоположных сторон этого шестиугольника (продолженные при необходимости) пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой, называемой линией Паскаля шестиугольника. Обратное также верно: теорема Брайкенриджа — Маклаурина утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на коническом сечении, которое может быть вырожденным, как в теореме Паппуса о шестиугольнике.
Конические сечения
Согласно теореме Монге, для любых трех окружностей в плоскости, ни одна из которых полностью не содержится в другой, три точки пересечения трех пар прямых, каждая из которых внешне касается двух окружностей, лежат на одной прямой. В эллипсе центр, два фокуса и две вершины с наименьшим радиусом кривизны коллинеарны, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны коллинеарны. В гиперболе центр, два фокуса и две вершины лежат на одной прямой.
Конусы
Центр масс конуса с однородной плотностью расположен на расстоянии одной четверти от центра основания до вершины, на прямой, соединяющей эти точки.
Тетраэдры
Центройд тетраэдра — это середина отрезка между его точкой Монге и центром описанной сферы. Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, аналогичную линии Эйлера треугольника. Центр двенадцатиточечной сферы тетраэдра также лежит на линии Эйлера.
Коллинейность точек, чьи парные расстояния даны
Набор, состоящий как минимум из трех различных точек, называется прямым, то есть все точки коллинеарны, если и только если для любых трех точек A, B, C из этого набора следующий определитель детерминанта Кейли-Менгера равен нулю (где d(AB) обозначает расстояние между точками A и B и т.д.):
Этот определитель, согласно формуле Герона, равен −16, умноженному на квадрат площади треугольника со сторонами d(AB), d(BC), d(AC); следовательно, проверка равенства этого определителя нулю эквивалентна проверке того, имеет ли треугольник с вершинами A, B, C нулевую площадь (то есть, являются ли вершины коллинеарными). Эквивалентно, множество, состоящее как минимум из трех различных точек, является коллинеарным, если и только если для любых трех точек A, B, C из этого множества, где d(AC) больше или равно d(AB) и d(BC), неравенство треугольника d(AC) ≤ d(AB) + d(BC) выполняется как равенство.
Теория чисел
Два числа m и n не являются взаимно простыми — то есть, они имеют общий делитель, отличный от 1 — тогда и только тогда, когда для прямоугольника, построенного на квадратной сетке с вершинами в точках (0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n), существует хотя бы одна внутренняя точка, лежащая на одной прямой с точками (0, 0) и (m, n).
Конкуренция (равнина двойной)
В различных плоскостных геометриях понятие обмена ролей "точек" и "линий" при сохранении отношений между ними называется плоскостной двойственностью. Если задано множество коллинеарных точек, то при плоскостной двойственности мы получаем множество прямых, все из которых пересекаются в одной общей точке. Свойство этого множества прямых (пересекаться в общей точке) называется конкуренцией, а прямые называются конкурентными прямыми. Таким образом, конкуренция является плоскостно-двойственным понятием коллинеарности.
График коллинейности
Для частичной геометрии P, в которой любые две точки определяют не более одной прямой, коллинеарный граф P — это граф, вершины которого соответствуют точкам P, и две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они определяют прямую в P.
Антенные массивы
В телекоммуникациях коллинеарный (или колинейный) антенный массив представляет собой совокупность дипольных антенн, смонтированных таким образом, что соответствующие элементы каждой антенны параллельны и выровнены, то есть расположены вдоль общей линии или оси.
Фотография
Уравнения коллинейности — это набор из двух уравнений, используемых в фотограмметрии и компьютерном стереозрении для установления связи между координатами в плоскости изображения (датчика) (в двух измерениях) и координатами объекта (в трех измерениях). В контексте фотографии эти уравнения выводятся на основе рассмотрения центральной проекции точки объекта через оптический центр камеры на изображение в плоскости изображения (датчика). Три точки — точка объекта, точка изображения и оптический центр — всегда лежат на одной прямой (коллинеарны). Иными словами, отрезки прямых, соединяющие точки объекта с их изображениями, пересекаются в одной точке — оптическом центре.