Кіріспе

Математикалық операция

Есептеулерде функцияның екінші туындысы немесе екінші реттік туындысы – функцияның туындысының туындысы. Бұл туралы бейресми айтқанда, екінші туындыны "өзгеріс жылдамдығының өзгеру деңгейі" деп атауға болады. Мысалы, дененің уақытқа қатысты орнының екінші туындысы – дененің жеделдеуі немесе уақытқа қатысты дененің жылдамдығының өзгеру деңгейі. Лейбниц нотациясы бойынша:

мұнда a – жеделдеу, v – жылдамдық, t – уақыт, x – орын, ал d – бірден болатын "дельта" немесе өзгеріс. Соңғы өрнек – уақытқа қатысты орынның (x) екінші туындысы. Функцияның графигінде екінші туынды графиктің қисықтығын немесе иілуін көрсетеді. Екінші туындысы оң болған функцияның графигі иісқан, ал екінші туындысы теріс болған функцияның графигі кері бағытта иілген болады.

Квадраттық шамалау

Бірінші туындысы сызықтық жуықтамамен байланысты болғандай, екінші туындысы f функциясы үшін ең жақсы квадраттық жуықтамамен байланысты. Бұл функцияның бірінші және екінші туындылары берілген нүктеде f функциясының туындыларымен сәйкес келетін квадраттық функция. 1=x = a нүктесі маңындағы f функциясының ең жақсы квадраттық жуықтамасының формуласы:

Бұл квадраттық жуықтама, 1=x = a нүктесінде ортасы орналасқан функция үшін екінші дәрежелі Тейлор полиномы болып табылады.

Екінші туындының өзіндік мәндері мен өзіндік векторлары

Шекаралық шарттардың көптеген комбинациялары үшін екінші туындының өзіндік мәндері мен өзіндік векторлары үшін нақты формулаларды алуға болады. Мысалы, егер және біртекті Дирихле шекаралық шарттары болса (яғни, өзіндік вектор v), онда өзіндік мәндері , ал сәйкес өзіндік векторлары (өздік функциялар деп те аталады) мынадай болады: , мұнда , үшін. Басқа белгілі жағдайларды қараңыз: Екінші туындының өзіндік мәндері мен өзіндік векторлары.

Лапласиан

Екінші туындының тағы бір жалпыламасы – Лапласиан. Бұл дифференциалдық оператор (немесе) функцияның Лапласианы, градиенттің дивергенциясына тең және Гессиан матрицасының іздерінен тұрады.