Вторая производная: определение, свойства и применения.
Second derivative
Вторая производная в математике: определение, формула, связь с ускорением и кривизной графика функции. Объяснение простыми словами и примеры применения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая операция
Mathematical operation
В математическом анализе вторая производная, или производная второго порядка, функции f — это производная от производной f. Неформально, вторую производную можно описать как "скорость изменения скорости изменения"; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта, или скорость, с которой изменяется скорость объекта по времени. В обозначениях Лейбница:
In calculus, the second derivative, or the second order derivative, of a function f is the derivative of the derivative of f. Informally, the second derivative can be phrased as "the rate of change of the rate of change"; for example, the second derivative of the position of an object with respect to time is the instantaneous acceleration of the object, or the rate at which the velocity of the object is changing with respect to time. In Leibniz notation:
где a — ускорение, v — скорость, t — время, x — положение, а d — мгновенное "приращение" или изменение. Последнее выражение представляет собой вторую производную положения (x) по времени. На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика. График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной имеет обратную вогнутость.
where a is acceleration, v is velocity, t is time, x is position, and d is the instantaneous "delta" or change. The last expression is the second derivative of position (x) with respect to time. On the graph of a function, the second derivative corresponds to the curvature or concavity of the graph. The graph of a function with a positive second derivative is upwardly concave, while the graph of a function with a negative second derivative curves in the opposite way.
Квадратная приближенность
Так же, как первая производная связана с линейными приближениями, вторая производная связана с наилучшим квадратичным приближением функции f. Это квадратичная функция, первая и вторая производные которой в заданной точке совпадают с производными функции f. Формула для наилучшего квадратичного приближения функции f в окрестности точки x = a выглядит следующим образом:
Just as the first derivative is related to linear approximations, the second derivative is related to the best quadratic approximation for a function f. This is the quadratic function whose first and second derivatives are the same as those of f at a given point. The formula for the best quadratic approximation to a function f around the point 1=x = a is
Это квадратичное приближение является полиномом Тейлора второго порядка для функции, центрированным в точке x = a.
This quadratic approximation is the second order Taylor polynomial for the function centered at 1=x = a.
Эгоиные значения и собственные векторы второй производной
Для многих комбинаций граничных условий можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной. Например, при предположении и однородных граничных условий Дирихле (то есть, где v — собственный вектор), собственные значения равны , а соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями) равны . Здесь , для . Для других известных случаев обратитесь к статье «Собственные значения и собственные векторы второй производной».
For many combinations of boundary conditions explicit formulas for eigenvalues and eigenvectors of the second derivative can be obtained. For example, assuming and homogeneous Dirichlet boundary conditions (i. e., where v is the eigenvector), the eigenvalues are and the corresponding eigenvectors (also called eigenfunctions) are Here, , for
For other well known cases, see Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative.
Лапласианский
Другим распространенным обобщением второй производной является Лапласиан. Это дифференциальный оператор (или ), определяемый как
Another common generalization of the second derivative is the Laplacian. This is the differential operator (or ) defined by
Лапласиан функции равен дивергенции градиента и следу гессианской матрицы.
The Laplacian of a function is equal to the divergence of the gradient, and the trace of the Hessian matrix.