Бөлшектелмейтін континуумдар: Топологиялық қасиеттері мен қолданыстары
Indecomposable continuum
Топологияда бөлшектелмейтін континуум – екі дербес ішкі континуумның бірігімі ретінде жазылмайтын байланысты метрикалық кеңістік. Броуэрдің жұмысы, динамикалық жүйелерде қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Нүктелік жиын топологиясында, бөлшектенбейтін континуум – бөлшектенбейтін, яғни оның ешқандай екі дұрыс ішкі континуумдарының бірігуі түрінде жазыла алмайтын континуум. 1910 жылы Л. Е. Ж. Браувер бірінші болып бөлшектенбейтін континуумды сипаттады. Топологтар бөлшектенбейтін континуумдарды қарсы мысалдардың көзі ретінде пайдаланады. Олар динамикалық жүйелерде де кездеседі.
In point set topology, an indecomposable continuum is a continuum that is indecomposable, i. e. that cannot be expressed as the union of any two of its proper subcontinua. In 1910, L. E. J. Brouwer was the first to describe an indecomposable continuum. Indecomposable continua have been used by topologists as a source of counterexamples. They also occur in dynamical systems.
Анықтамалар
Континуум – бос емес, компактты, байланысты метрикалық кеңістік. Арка, n сфера және Гильберт кубі – жолмен байланысқан континуумдардың мысалдары; топологтың синусоидалық қисығы – жолмен байланысқан емес континуумның мысалы. Варшава шеңбері – жолмен байланысқан, бірақ жергілікті түрде жолмен байланысқан емес континуум. Континуумның субконтинуумы – А кеңістігінің жабық, байланысқан ішкі жиыны. Егер ол бір нүктеге тең болмаса, кеңістік дегенеративті емес деп аталады. Егер континуумда екі субконтинуум бар болса және олардың екеуі де дегенеративті емес болса, онда континуум ыдыратылады. Ыдырамайтын континуум – ыдыратылмаған континуум. Кез келген субконтинуумы ыдырамайтын континуум – мұрагерлік ыдырамайтын континуум деп аталады. Ыдырамайтын континуумның компоненті – кез келген екі нүктесі А континуумның дұрыс субконтинуумының ішінде жататын және ешқандай дұрыс субконтинуумы екі нүктенің екеуін де қамтымайтын максималды жиын. Дегенеративті емес, ыдырамайтын метрикалық континуум үшін, оның кез келген екі нүктесі арасында қайталанбайтын санаусыз кіші жиын бар.
A continuum is a nonempty compact connected metric space. The arc, the n sphere, and the Hilbert cube are examples of path connected continua; the topologist's sine curve is an example of a continuum that is not path connected. The Warsaw circle is a path connected continuum that is not locally path connected. A subcontinuum of a continuum is a closed, connected subset of A space is nondegenerate if it is not equal to a single point. A continuum is decomposable if there exist two subcontinua and of such that and but It follows that and are nondegenerate. A continuum that is not decomposable is an indecomposable continuum. A continuum in which every subcontinuum is indecomposable is said to be hereditarily indecomposable. A composant of an indecomposable continuum is a maximal set in which any two points lie within some proper subcontinuum of A continuum is irreducible between and if and no proper subcontinuum contains both points. For a nondegenerate indecomposable metric continuum , there exists an uncountable subset such that is irreducible between any two points of .
Тарих
1910 жылы Л. Е. Ж. Браувер Артур Мориц Шоенфлиздің болжамын жоққа шығаратын ажыратылмас континуумды сипаттады. Егер және ашық, байланысқан, бөлек жиынтықтар болса, онда олар екі жабық, байланысқан, нақты кіші жиынтықтың бірігімі болуы керек деген болжамды дәлелсіз қылды. Зигмунд Янишевский осы сияқты ажыратылмас континуумдарды, соның ішінде шелек тұтқасының түрін сипаттады. Алайда Янишевский осы континуумдардың бөлшектенбейтініне назар аударды. 1917 жылы Кунизо Йонеяма Уада көлдерін (Такео Уаданың атымен аталады) сипаттады, олардың ортақ шекарасы ажыратылмайды. 1920 жылдары ажыратылмас континуумдар Варшава математикалық мектебінде патологиялық қарсы мысалдар ретінде емес, өздері үшін Fundamenta Mathematicae журналында зерттеле бастады. Стефан Мазуркевич алғаш рет ажыратылмаушылықты анықтады. 1922 жылы Бронислав Кнастер псевдоарканы сипаттады, ол тұқым қуалайтын ажыратылмас континуумның алғашқы мысалы болды.
In 1910 L. E. J. Brouwer described an indecomposable continuum that disproved a conjecture made by Arthur Moritz Schoenflies that, if and are open, connected, disjoint sets in such that , then must be the union of two closed, connected proper subsets. Zygmunt Janiszewski described more such indecomposable continua, including a version of the bucket handle. Janiszewski, however, focused on the irreducibility of these continua. In 1917 Kunizo Yoneyama described the Lakes of Wada (named after Takeo Wada) whose common boundary is indecomposable. In the 1920s indecomposable continua began to be studied by the Warsaw School of Mathematics in Fundamenta Mathematicae for their own sake, rather than as pathological counterexamples. Stefan Mazurkiewicz was the first to give the definition of indecomposability. In 1922 Bronisław Knaster described the pseudo arc, the first example found of a hereditarily indecomposable continuum.
Құраны ұстайтын мысал
Ажыратылмайтын континуумдар көбінесе ұялы қиылыстар тізбегінің лиміті ретінде немесе (жалпы алғанда) континуумдар тізбегінің кері лиміті ретінде құрастырылады. Шелек тұтқасы, немесе Брауэр–Янишевски–Кнастер континуумы, ажыратылмайтын континуумның ең қарапайым мысалы болып саналады және осылай құрастырылуы мүмкін (оң жақтағы жоғарғы суретті қараңыз). Балама ретінде, Кантор үштік жиынын жазықтықтағы ось аралығына проекциялайық. Ортасы және ұштары (осы нүктеге симметриялы) осьтің үстіндегі жарты шеңберлер жиыны болсын. Ортасы аралықтың орта нүктесінде және ұштарында болатын осьтің астындағы жарты шеңберлер жиыны болсын. Ортасы аралықтың орта нүктесінде және ұштарында болатын осьтің астындағы жарты шеңберлер жиыны болсын. Содан кейін, мұндай барлық жарты шеңберлердің біріктірілуі шелек тұтқасын құрайды. Шелек тұтқасы Борель көлденеңін қабылдамайды, яғни әр компоненттен дәл бір нүктеден тұратын Борель жиыны жоқ.
Indecomposable continua are often constructed as the limit of a sequence of nested intersections, or (more generally) as the inverse limit of a sequence of continua. The buckethandle, or Brouwer–Janiszewski–Knaster continuum, is often considered the simplest example of an indecomposable continuum, and can be so constructed (see upper right). Alternatively, take the Cantor ternary set projected onto the interval of the axis in the plane. Let be the family of semicircles above the axis with center and with endpoints on (which is symmetric about this point). Let be the family of semicircles below the axis with center the midpoint of the interval and with endpoints in Let be the family of semicircles below the axis with center the midpoint of the interval and with endpoints in Then the union of all such is the bucket handle. The bucket handle admits no Borel transversal, that is there is no Borel set containing exactly one point from each composant.
Қасиеттері
Бір жағынан, "көптеген" континуумдар ажыратылмас. Метрикасымен жабдықталған жасушаны қарастырайық , ол - бос емес жабық ішкі жиындардың жиынтығы, ал - бұл жиынның барлық байланысты мүшелерінің гиперғарышы, ол Hausdorff метрикасымен анықталған. Содан кейін, -ның дегенеративті емес ажыратылмас ішкі континуумдары жиыны -да тығыз.
In a sense, 'most' continua are indecomposable. Let be an cell with metric , the set of all nonempty closed subsets of , and the hyperspace of all connected members of equipped with the Hausdorff metric defined by Then the set of nondegenerate indecomposable subcontinua of is dense in .
Динамикалық жүйелерде
1932 жылы Джордж Бирхофф өзінің "ерекше жабық қисығын" сипаттады, ол инвариант континуумды қамтитын сақинаның гомеоморфизмі. Мари Шарпентье бұл континуумның ажыратылмайтынын көрсетті, бұл ажыратылмайтын континуумдар мен динамикалық жүйелер арасындағы алғашқы байланыс болды. Белгілі бір Smale ат асты картасының инвариант жиыны – шелек тұтқасы. Марси Бардж және басқалар динамикалық жүйелерде ажыратылмайтын континуумдарды жан-жақты зерттеді.
In 1932 George Birkhoff described his "remarkable closed curve", a homeomorphism of the annulus that contained an invariant continuum. Marie Charpentier showed that this continuum was indecomposable, the first link from indecomposable continua to dynamical systems. The invariant set of a certain Smale horseshoe map is the bucket handle. Marcy Barge and others have extensively studied indecomposable continua in dynamical systems.