Неразложимые континуумы в топологии: определение, примеры Брувера (1910), применение в качестве контрпримеров и динамических системах. Компактные метрические пространства.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В топологии точечных множеств неразложимый континуум — это континуум, который не может быть представлен в виде объединения любых двух его собственных подконтинуумов. В 1910 году Л. Э. Брауэр впервые описал неразложимый континуум. Неразложимые континуумы используются топологами как источник контрпримеров, а также встречаются в динамических системах.
In point set topology, an indecomposable continuum is a continuum that is indecomposable, i. e. that cannot be expressed as the union of any two of its proper subcontinua. In 1910, L. E. J. Brouwer was the first to describe an indecomposable continuum. Indecomposable continua have been used by topologists as a source of counterexamples. They also occur in dynamical systems.
Определения
Континуум – это непустое компактное связное метрическое пространство. Дуга, n-сфера и куб Гильберта являются примерами полусвязных континуумов; синусоида тополога – пример континуума, не являющегося полусвязным. Варшавский круг – это полусвязный континуум, не являющийся локально полусвязным. Подконтинуум континуума – это замкнутое связное подмножество. Пространство называется недегенерированным, если оно не состоит из одной точки. Континуум называется разложимым, если существуют два подконтинуума и из , такие что и , но при этом и являются недегенерированными. Континуум, который не является разложимым, называется неразложимым. Континуум, в котором каждый подконтинуум является неразложимым, называется наследственно неразложимым. Компонента неразложимого континуума – это максимальное множество, в котором любые две точки лежат в некотором собственном подконтинууме . Континуум называется несводимым между и , если и не существует собственного подконтинуума, содержащего обе точки. Для недегенерированного неразложимого метрического континуума существует несчетное подмножество , такое что любые две точки из несводимы между собой.
A continuum is a nonempty compact connected metric space. The arc, the n sphere, and the Hilbert cube are examples of path connected continua; the topologist's sine curve is an example of a continuum that is not path connected. The Warsaw circle is a path connected continuum that is not locally path connected. A subcontinuum of a continuum is a closed, connected subset of A space is nondegenerate if it is not equal to a single point. A continuum is decomposable if there exist two subcontinua and of such that and but It follows that and are nondegenerate. A continuum that is not decomposable is an indecomposable continuum. A continuum in which every subcontinuum is indecomposable is said to be hereditarily indecomposable. A composant of an indecomposable continuum is a maximal set in which any two points lie within some proper subcontinuum of A continuum is irreducible between and if and no proper subcontinuum contains both points. For a nondegenerate indecomposable metric continuum , there exists an uncountable subset such that is irreducible between any two points of .
История
В 1910 году Л. Э. Браувер описал неразложимый континуум, который опроверг предположение Артура Морица Шёнфлиса о том, что если и – открытые, связные, непересекающиеся множества в такие, что , то должно быть объединением двух замкнутых, связных собственных подмножеств. Зыгмунт Янишевский описал другие такие неразложимые континуумы, включая вариант ручки ведра. Однако Янишевский сосредоточился на несводимости этих континуумов. В 1917 году Кунизо Йонеяма описал озера Вада (названные в честь Такео Вада), общая граница которых неразложима. В 1920-х годах неразложимые континуумы стали изучаться Варшавской школой математики в журнале Fundamenta Mathematicae как самостоятельный объект, а не просто как патологические контрпримеры. Стефан Мазуркевич первым дал определение неразложимости. В 1922 году Бронислав Кнастер описал псевдо-дугу – первый найденный пример наследственно неразложимого континуума.
In 1910 L. E. J. Brouwer described an indecomposable continuum that disproved a conjecture made by Arthur Moritz Schoenflies that, if and are open, connected, disjoint sets in such that , then must be the union of two closed, connected proper subsets. Zygmunt Janiszewski described more such indecomposable continua, including a version of the bucket handle. Janiszewski, however, focused on the irreducibility of these continua. In 1917 Kunizo Yoneyama described the Lakes of Wada (named after Takeo Wada) whose common boundary is indecomposable. In the 1920s indecomposable continua began to be studied by the Warsaw School of Mathematics in Fundamenta Mathematicae for their own sake, rather than as pathological counterexamples. Stefan Mazurkiewicz was the first to give the definition of indecomposability. In 1922 Bronisław Knaster described the pseudo arc, the first example found of a hereditarily indecomposable continuum.
Пример ручки ведра
Неразложимые континуумы часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем случае) как обратный предел последовательности континуумов. Континуум «ручка ведра», или континуум Брауэра — Янишевского — Кнастера, часто рассматривается как простейший пример неразложимого континуума и может быть построен таким образом (см. верхний правый угол). Альтернативно, возьмем канторово троичное множество, спроецированное на интервал оси в плоскости. Пусть – семейство полукругов, расположенных над осью, с центром в точке и концами на (которые симметричны относительно этой точки). Пусть – семейство полукругов, расположенных под осью, с центром в середине интервала и концами в . Пусть – семейство полукругов, расположенных под осью, с центром в середине интервала и концами в . Тогда объединение всех таких полукругов образует «ручку ведра». «Ручка ведра» не допускает борелевского поперечного сечения, то есть не существует борелевского множества, содержащего ровно одну точку из каждого компонента связности.
Indecomposable continua are often constructed as the limit of a sequence of nested intersections, or (more generally) as the inverse limit of a sequence of continua. The buckethandle, or Brouwer–Janiszewski–Knaster continuum, is often considered the simplest example of an indecomposable continuum, and can be so constructed (see upper right). Alternatively, take the Cantor ternary set projected onto the interval of the axis in the plane. Let be the family of semicircles above the axis with center and with endpoints on (which is symmetric about this point). Let be the family of semicircles below the axis with center the midpoint of the interval and with endpoints in Let be the family of semicircles below the axis with center the midpoint of the interval and with endpoints in Then the union of all such is the bucket handle. The bucket handle admits no Borel transversal, that is there is no Borel set containing exactly one point from each composant.
Свойства
В некотором смысле, "большинство" континуумов являются неделимыми. Пусть – ячейка с метрикой , – множество всех непустых замкнутых подмножеств , а – гиперпространство всех связных элементов , снабженное метрикой Хаусдорфа , определяемой как . Тогда множество вырожденных неделимых подконтинуумов в плотно в .
In a sense, 'most' continua are indecomposable. Let be an cell with metric , the set of all nonempty closed subsets of , and the hyperspace of all connected members of equipped with the Hausdorff metric defined by Then the set of nondegenerate indecomposable subcontinua of is dense in .
В динамических системах
В 1932 году Джордж Биркофф описал свою "замечательную замкнутую кривую" – гомеоморфизм кольца, содержащий инвариантный континуум. Мари Шарпентье показала, что этот континуум неразложим, установив первую связь между неразложимыми континуа и динамическими системами. Инвариантным множеством для определенного отображения "подкова Смейла" является "ручка ведра". Марси Бардж и другие исследователи широко изучали неразложимые континуи в динамических системах.
In 1932 George Birkhoff described his "remarkable closed curve", a homeomorphism of the annulus that contained an invariant continuum. Marie Charpentier showed that this continuum was indecomposable, the first link from indecomposable continua to dynamical systems. The invariant set of a certain Smale horseshoe map is the bucket handle. Marcy Barge and others have extensively studied indecomposable continua in dynamical systems.