Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жалпы топологияда псевдоарка – ең қарапайым дегенерацияланбаған, мұрагерлік бойынша ажыратылмайтын континуум. Псевдоарка – гомогенді континуумға ұқсас доға, және гомогенді жазық континуумдарды жіктеуде маңызды рөл атқарды. Р.Х. Бинг дәлелдегендей, белгілі бір анықталған мағынада, Rn, n ≥ 2 кеңістігіндегі көптеген континуумдар псевдоаркаға гомеоморфты болады.
In general topology, the pseudo arc is the simplest nondegenerate hereditarily indecomposable continuum. The pseudo arc is an arc like homogeneous continuum, and played a central role in the classification of homogeneous planar continua. R. H. Bing proved that, in a certain well defined sense, most continua in Rn, n ≥ 2, are homeomorphic to the pseudo arc.
Тарих
1920 жылы Бронислав Кнастер мен Казимеж Куратовский Евклид жазықтығы R2-дегі дегенерацияланбаған біртекті континуум Джордан қисығы болуы тиіс пе деп сұрады. 1921 жылы Стефан Мазуркевич R2-дегі өзінің әрбір дегенерацияланбаған субконтинуумына гомеоморфты болатын дегенерацияланбаған континуум доға болуы тиіс пе деп сұрады. 1922 жылы Кнастер тұқым қуалайтын ажыратылмас континуумның алғашқы мысалын тапты, кейіннен псевдоарка деп аталды, бұл Мазуркевичтің сұрағына кері жауап берді. 1948 жылы Р.Х. Бинг Кнастердің континуумінің гомогенді екенін дәлелдеді, яғни оның кез келген екі нүктесі үшін бірін екіншісіне бейнелейтін гомеоморфизм бар. Сонымен қатар, 1948 жылы Эдвин Моиз Кнастердің континуумінің өзінің барлық дегенерацияланбаған субконтинуумдарына гомеоморфты екенін көрсетті. Арканың негізгі қасиетіне, атап айтқанда, барлық дегенерацияланбаған субконтинуумдарына гомеоморфты болуына ұқсас болғандықтан, Моиз өзінің M мысалын псевдоарка деп атады. Бингтің құрастыруы – Моиздің M құрастыруының өзгертілген түрі, ол алғаш рет дәрісте сипатталған. 1951 жылы Бинг тұқым қуалайтын ажыратылмас барлық доға тәрізді континуумдар гомеоморфты екенін дәлелдеді. Бұл Кнастердің K, Моиздің M және Бингтің B гомеоморфты екенін білдіреді. Бинг сондай-ақ псевдоарканың кемінде 2 өлшемді Евклид кеңістігінде немесе шексіз өлшемді ажыратылатын Гильберт кеңістігіндегі континуумдар арасында типтік екенін дәлелдеді. Бинг пен Ф. Бертон Джонс шеңберге ашық бейнелеуді қабылдайтын және әрбір нүктенің алдын ала бейнесі псевдоаркаға гомеоморфты болатын, псевдоаркалар шеңбері деп аталатын ыдырайтын жазықтық континуумды құрды. Бинг пен Джонс оның да гомогенді екенін көрсетті. 2016 жылы Логан Хоэн мен Лекс Оверстиген барлық жазық гомогенді континуумдарды гомеоморфизмге дейін жіктеді: шеңбер, псевдоарка және псевдоаркалар шеңбері. 2019 жылы Хоэн мен Оверстиген псевдоарканың топологиялық тұрғыдан доғадан басқа, тұқым қуалайтын эквивалентті жазық континуум екенін көрсетті, осылайша 1921 жылғы Мазуркевичтің мәселесінің жазық жағдайына толық шешім берді.
In 1920, Bronisław Knaster and Kazimierz Kuratowski asked whether a nondegenerate homogeneous continuum in the Euclidean plane R2 must be a Jordan curve. In 1921, Stefan Mazurkiewicz asked whether a nondegenerate continuum in R2 that is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua must be an arc. In 1922, Knaster discovered the first example of a hereditarily indecomposable continuum K, later named the pseudo arc, giving a negative answer to a Mazurkiewicz question. In 1948, R. H. Bing proved that Knaster's continuum is homogeneous, i. e. for any two of its points there is a homeomorphism taking one to the other. Yet also in 1948, Edwin Moise showed that Knaster's continuum is homeomorphic to each of its non degenerate subcontinua. Due to its resemblance to the fundamental property of the arc, namely, being homeomorphic to all its nondegenerate subcontinua, Moise called his example M a pseudo arc. Bing's construction is a modification of Moise's construction of M, which he had first heard described in a lecture. In 1951, Bing proved that all hereditarily indecomposable arc like continua are homeomorphic — this implies that Knaster's K, Moise's M, and Bing's B are all homeomorphic. Bing also proved that the pseudo arc is typical among the continua in a Euclidean space of dimension at least 2 or an infinite dimensional separable Hilbert space. Bing and F. Burton Jones constructed a decomposable planar continuum that admits an open map onto the circle, with each point preimage homeomorphic to the pseudo arc, called the circle of pseudo arcs. Bing and Jones also showed that it is homogeneous. In 2016 Logan Hoehn and Lex Oversteegen classified all planar homogeneous continua, up to a homeomorphism, as the circle, pseudo arc and circle of pseudo arcs. In 2019 Hoehn and Oversteegen showed that the pseudo arc is topologically the only, other than the arc, hereditarily equivalent planar continuum, thus providing a complete solution to the planar case of Mazurkiewicz's problem from 1921.
Құрылыс
Псевдоарканың келесі құрылысы осылай жүзеге асырылады.
The following construction of the pseudo arc follows .