Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В общей топологии псевдо-дуга является простейшим невырожденным наследственно неразложимым континуумом. Псевдо-дуга представляет собой дугообразный однородный континуум и сыграла центральную роль в классификации однородных планарных континуумов. Р.Х. Бинг доказал, что в некотором точно определенном смысле большинство континуумов в Rn, n ≥ 2, гомеоморфны псевдо-дуге.
In general topology, the pseudo arc is the simplest nondegenerate hereditarily indecomposable continuum. The pseudo arc is an arc like homogeneous continuum, and played a central role in the classification of homogeneous planar continua. R. H. Bing proved that, in a certain well defined sense, most continua in Rn, n ≥ 2, are homeomorphic to the pseudo arc.
История
В 1920 году Бронислав Кнастер и Казимеж Куратовский задались вопросом, должен ли невырожденный однородный континуум в евклидовой плоскости R2 быть кривой Жордана. В 1921 году Стефан Мазуркевич спросил, должен ли невырожденный континуум в R2, гомеоморфный каждому из своих невырожденных субконтинуумов, быть дугой. В 1922 году Кнастер обнаружил первый пример наследственно неразложимого континуума K, позднее названного псевдо-дугой, дав отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 году Р. Х. Бинг доказал, что континуум Кнастера является однородным, то есть для любых двух его точек существует гомеоморфизм, отображающий одну в другую. Однако, также в 1948 году Эдвин Мойз показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из своих невырожденных субконтинуумов. В силу сходства с фундаментальным свойством дуги, а именно, гомеоморфности всем своим невырожденным субконтинуамам, Мойз назвал свой пример M псевдо-дугой. Конструкция Бинга является модификацией конструкции Мойза для M, которую он впервые услышал на лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугоподобные континуумы гомеоморфны, что означает, что K Кнастера, M Мойза и B Бинга все гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдо-дуга типична среди континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве. Бинг и Ф. Бертон Джонс построили разложимый плоский континуум, допускающий открытое отображение на окружность, причем прообраз каждой точки гомеоморфен псевдо-дуге, и назвали его окружностью псевдо-дуг. Бинг и Джонс также показали, что он однородный. В 2016 году Логан Хоэн и Лекс Оверстиген классифицировали все плоские однородные континуумы, с точностью до гомеоморфизма, как окружность, псевдо-дугу и окружность псевдо-дуг. В 2019 году Хоэн и Оверстиген показали, что псевдо-дуга является топологически единственным, помимо дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, тем самым предоставив полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича, поставленной в 1921 году.
In 1920, Bronisław Knaster and Kazimierz Kuratowski asked whether a nondegenerate homogeneous continuum in the Euclidean plane R2 must be a Jordan curve. In 1921, Stefan Mazurkiewicz asked whether a nondegenerate continuum in R2 that is homeomorphic to each of its nondegenerate subcontinua must be an arc. In 1922, Knaster discovered the first example of a hereditarily indecomposable continuum K, later named the pseudo arc, giving a negative answer to a Mazurkiewicz question. In 1948, R. H. Bing proved that Knaster's continuum is homogeneous, i. e. for any two of its points there is a homeomorphism taking one to the other. Yet also in 1948, Edwin Moise showed that Knaster's continuum is homeomorphic to each of its non degenerate subcontinua. Due to its resemblance to the fundamental property of the arc, namely, being homeomorphic to all its nondegenerate subcontinua, Moise called his example M a pseudo arc. Bing's construction is a modification of Moise's construction of M, which he had first heard described in a lecture. In 1951, Bing proved that all hereditarily indecomposable arc like continua are homeomorphic — this implies that Knaster's K, Moise's M, and Bing's B are all homeomorphic. Bing also proved that the pseudo arc is typical among the continua in a Euclidean space of dimension at least 2 or an infinite dimensional separable Hilbert space. Bing and F. Burton Jones constructed a decomposable planar continuum that admits an open map onto the circle, with each point preimage homeomorphic to the pseudo arc, called the circle of pseudo arcs. Bing and Jones also showed that it is homogeneous. In 2016 Logan Hoehn and Lex Oversteegen classified all planar homogeneous continua, up to a homeomorphism, as the circle, pseudo arc and circle of pseudo arcs. In 2019 Hoehn and Oversteegen showed that the pseudo arc is topologically the only, other than the arc, hereditarily equivalent planar continuum, thus providing a complete solution to the planar case of Mazurkiewicz's problem from 1921.
Строительство
Далее следует построение псевдодуги.
The following construction of the pseudo arc follows .