Пирамида: көпбұрышты негізі бар конус тәрізді дене

Кіріспе

Геометрияда пирамида — көпбұрышты негізді және шыңы деп аталатын нүктені қосу арқылы түзілген көпжақ. Негіздің әр қабырғасы мен шыңы бірге үшбұрыш құрайды, ол бүйірлік жақ деп аталады. Бұл көпбұрышты негізді конус тәрізді дене. Пирамидалардың көптеген түрлерін негіздерінің пішінін анықтау арқылы немесе шыңын қиып алу арқылы табуға болады. Оны жоғары өлшемге, гиперпирамида деп аталатын түріне дейін жалпылауға болады. Барлық пирамидалар өзіне-өзі екілік болып табылады.

Анықтама

Пирамида - көпбұрышты пішін, көпбұрышты негізді және шыңы деп аталатын нүктені қосу арқылы жасалады. Әрбір негіз қабырғасы мен шыңы теңқабырғалы үшбұрыш құрайды, ол бүйір бет деп аталады. Көпбұрышты негіздің төбелерінен шыңына дейінгі қабырғалар бүйір қабырғалар деп аталады. Тарихи тұрғыдан алғанда, пирамиданың анықтамасын ежелгі заманда көптеген математиктер сипаттаған. Евклид өзінің "Элементтер" еңбегінде пирамиданы бір жазықтықтан бір нүктеге құрылған кеңістіктік дене деп түсіндірді. Оның анықтамасының мағынасы Александриялық Герон нүктені көпбұрышты негізбен біріктіру арқылы оны пішін ретінде анықтағанға дейін нақты болмады. Призматоид - бұл көпбұрыш, оның төбелері екі параллель жазықтықта жатады, ал бүйір беттері үшбұрыштар, трапециялар және параллелограмдар болып табылады. Пирамидалар призматоидтар класына жатады.

Жіктеу және түрлері

Оң пирамида – бұл негізі шеңберге іштей сызылған және пирамида биіктігі шеңбер ортасымен түйіскен пирамида. Бұл пирамида негізінің дұрыстығына қарай жіктеледі. Негізі дұрыс көпбұрыш болған пирамида дұрыс пирамида деп аталады. Қыры n-бұрышты дұрыс пирамиданың n + 1 төбесі, n + 1 жағы және 2n қабырғасы болады. Мұндай пирамиданың жақтары теңқабырғалы үшбұрыштардан тұрады, оның симметриясы Cnv, 2n ретті симметрия болып табылады: пирамидалар симметрия осінің айналымында (төбеден және негіз центрінен өтетін түзу) симметриялы, сондай-ақ негіздің биссектрисасынан өтетін кез келген перпендикуляр жазықтыққа қарапайым айна симметриялы. Мысалдар: квадратты пирамида және бесбұрышты пирамида, яғни квадрат және бесбұрыш негізі бар төрт және бес үшбұрышты пирамидалар; егер олардың жақтары мен қабырғалары тең болса, олар бірінші және екінші Джонсон қатты денелері деп жіктеледі, ал олардың симметриялары C4v (8 ретті) және C5v (10 ретті) болып табылады. Тетраэдр немесе үшбұрышты пирамида – бұл барлық қабырғалары тең, төрт теңқабырғалы үшбұрыштан тұратын және олардың біреуі негіз ретінде қарастырылатын пирамида. Жақтары дұрыс болғандықтан, ол Платон денесі мен дельтаэдрдің мысалы болып табылады және тетраэдрлік симметрияға ие. Негізі шеңбер болған пирамида конус деп аталады. Пирамидалар өзіне-өзі дуалды қасиетке ие, яғни олардың дуалдары қабырғаларға сәйкес келетін төбелермен бірдей және керісінше. Олардың қаңқасын дөңгелек граф ретінде бейнелеуге болады. Оң пирамиданың негізі дұрыс емес көпбұрыш болуы мүмкін. Мысалдар: тіктөртбұрыш және ромб негізі бар пирамидалар. Бұл екі пирамиданың симметриясы C2v (4 ретті). Пирамидалардың түрлерін алудың көптеген тәсілдері бар. Пирамида негізінің дұрыстығы көпбұрыш түріне қарай жіктеледі, мысалы, негізі дұрыс жұлдызды көпбұрыш болған пирамида жұлдызды пирамида деп аталады. Жазықтықпен қиылысқан пирамида кесілген пирамида деп аталады; егер қиылыс жазықтығы пирамида негізіне параллель болса, ол уатық деп аталады.

A right pyramid is a pyramid where the base is circumscribed about the circle and the altitude of the pyramid meets at the circle's center. This pyramid may be classified based on the regularity of its bases. A pyramid with a regular polygon as the base is called a regular pyramid. For the pyramid with an sided regular base, it has 1=n + 1 vertices, 1=n + 1 faces, and 1=2n edges. Such pyramid has isosceles triangles as its faces, with its symmetry is 1=Cnv, a symmetry of order 1=2n: the pyramids are symmetrical as they rotated around their axis of symmetry (a line passing through the apex and the base centroid), and they are mirror symmetric relative to any perpendicular plane passing through a bisector of the base. Examples are square pyramid and pentagonal pyramid, a four and five triangular faces pyramid with a square and pentagon base, respectively; they are classified as the first and second Johnson solid if their regular faces and edges that are equal in length, and their symmetries are 1=C4v of order 8 and 1=C5v of order 10, respectively. A tetrahedron or triangular pyramid is an example that has four equilateral triangles, with all edges equal in length, and one of them considered as the base. Because the faces are regular, it is an example of a Platonic solid and deltahedra, and it has tetrahedral symmetry. A pyramid with the base as circle is known as cone. Pyramids have the property of self dual, meaning their duals are the same as vertices corresponding to the edges and vice versa. Their skeleton may be represented as the wheel graph. A right pyramid may also have a base with an irregular polygon. Examples are the pyramids with rectangle and rhombus as their bases. These two pyramids have the symmetry of 1=C2v of order 4. The type of pyramids can be derived in many ways. The base regularity of a pyramid's base may be classified based on the type of polygon, and one example is the pyramid with regular star polygon as its base, known as the star pyramid. The pyramid cut off by a plane is called a truncated pyramid; if the truncation plane is parallel to the base of a pyramid, it is called a frustum.

Өлшем

Беттік аудан – әрбір көпжақтың барлық қабырғаларының жалпы ауданы. Пирамида жағдайында, оның беттік ауданы үшбұрыштардың аудандары мен көпбұрышты негіздің ауданының қосындысына тең. Пирамиданың көлемі – негізінің ауданы мен биіктігінің үштен бір бөлігіне тең. Егер негіздің ауданы болса және биіктігі болса, онда математикалық тұрғыдан пирамиданың көлемі:

Пирамиданың көлемі туралы мәліметтер ежелгі Египетте кездеседі, онда олар төртбұрышты қиық пирамиданың көлемін есептеп, төртбұрышты пирамиданың көлемін де білгендігін көрсетеді. Жалпы пирамиданың көлемін есептеу формуласын үнді математигі Арябхата ашқан, ол өзінің «Арябхатия» еңбегінде пирамиданың көлемі негізінің ауданы мен биіктігінің жартысына тең деп қате айтқан.