Введение
Коническое тело с многоугольным основанием
В геометрии пирамида — это многогранник, образованный соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной. Каждая сторона основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью. Это коническое тело с многоугольным основанием. Различные типы пирамид можно получить, определяя форму основания или усекая вершину. Пирамида может быть обобщена на более высокие размерности, что известно как гиперпирамида. Все пирамиды самодвойственны.
Определение
Пирамида — это многогранник, который может быть образован соединением многоугольного основания и точки, называемой вершиной. Каждая сторона основания и вершина образуют равнобедренный треугольник, называемый боковой гранью. Ребра, соединяющие вершины многоугольного основания с вершиной, называются боковыми ребрами. Исторически определение пирамиды было описано многими математиками в древности. Евклид в своих «Началах» определил пирамиду как твердое тело, построенное от одной плоскости к одной точке. Контекст его определения был расплывчатым, пока Герон Александрийский не уточнил его как фигуру, образованную соединением точки с многоугольным основанием. Призматоид определяется как многогранник, вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, а боковые грани — треугольники, трапеции и параллелограммы. Пирамиды классифицируются как призматоиды.
Классификация и типы
Правая пирамида – это пирамида, у которой основание описано около окружности, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности. Эта пирамида может быть классифицирована в зависимости от правильности её основания. Пирамида с правильным многоугольником в качестве основания называется правильной пирамидой. Для пирамиды с n-угольным правильным основанием, она имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2n ребер. У такой пирамиды в качестве граней выступают равнобедренные треугольники, а её симметрия – Cnv порядка 2n: пирамиды симметричны при вращении вокруг своей оси симметрии (линии, проходящей через вершину и центр основания), и зеркально симметричны относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. Примерами служат квадратная пирамида и пятиугольная пирамида – пирамиды с четырьмя и пятью треугольными гранями, имеющие в основании квадрат и пятиугольник соответственно; они классифицируются как первое и второе тела Джонсона, если их грани – правильные многоугольники, а все рёбра равны по длине, и их симметрии – C4v порядка 8 и C5v порядка 10 соответственно. Тетраэдр, или треугольная пирамида, является примером, имеющим четыре равносторонних треугольника, все рёбра которых равны по длине, и один из которых считается основанием. Поскольку грани правильные, это пример платонова тела и дельтаэдра, обладающего тетраэдрической симметрией. Пирамида с кругом в качестве основания называется конусом. Пирамиды обладают свойством самодвойственности, то есть их двойственные объекты совпадают с ними, при этом вершины соответствуют рёбрам и наоборот. Их скелет можно представить в виде графа колеса. Правая пирамида может иметь и основание в виде неправильного многоугольника. Примерами служат пирамиды с прямоугольником и ромбом в качестве основания. Эти две пирамиды обладают симметрией C2v порядка 4. Типы пирамид можно классифицировать различными способами. Правильность основания пирамиды может быть классифицирована в зависимости от типа многоугольника, и одним из примеров является пирамида с правильным звездным многоугольником в качестве основания, известная как звездная пирамида. Пирамида, отсечённая плоскостью, называется усечённой пирамидой; если плоскость отсечения параллельна основанию пирамиды, она называется усечённым конусом (фрустумом).
Размер
Площадь поверхности — это общая площадь всех граней многогранника. В случае пирамиды, её площадь поверхности равна сумме площадей треугольников, составляющих боковую поверхность, и площади многоугольного основания. Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Обозначим площадь основания как , а высоту пирамиды как . Математически, объём пирамиды выражается следующим образом:
Объём пирамиды был известен ещё в Древнем Египте, где они вычисляли объём усечённой пирамиды, что свидетельствует об их знакомстве с объёмом правильной пирамиды. Формула объёма для произвольной пирамиды была открыта индийским математиком Арьябхатой, который в своём труде «Арьябхатия» указал, что объём пирамиды ошибочно принимался равным половине произведения площади основания на высоту.