Кіріспе
Ежелгі Грецияда зерттелген классикалық орташа шамалар. Математикада үш классикалық пифагорлық орташа шама бар: арифметикалық орташа (AM), геометриялық орташа (GM) және гармониялық орташа (HM). Бұл шамалар пифагоршылар және грек математиктерінің кейінгі ұрпақтары геометрия мен музыкадағы маңыздылығына байланысты пропорциялармен бірге зерттелген.
In mathematics, the three classical Pythagorean means are the arithmetic mean (AM), the geometric mean (GM), and the harmonic mean (HM). These means were studied with proportions by Pythagoreans and later generations of Greek mathematicians because of their importance in geometry and music.
Тарих
Пифагордың орташа сандары туралы білетініміздің бәрі дерлік бірінші және екінші ғасырларда жазылған арифметикалық оқулықтардан алынған. Никомах Герасалық оларды "Пифагор, Платон және Аристотель сияқты барлық ежелгі ғалымдар мойындады" дейді. Олардың ең ерте кезде қолданылуы Пифагор философы Архитас Тарантоның фрагменті: мәтін= Музыкада үш орташа бар: бірі арифметикалық, екіншісі геометриялық, үшіншісі кері пропорционалды, оны олар гармония деп атайды. Орташа сан арифметикалық болады, егер үш мүше пропорцияда болса, яғни бірінші мүше екінші мүшеден неғүрлі артық болса, екінші мүше үшінші мүшеден де соғұрлы артық болса. Бұл пропорцияда үлкен мүшелердің аралығы кішірек, ал кіші мүшелердің аралығы үлкен болып шығады. Орташа геометриялық болады, егер бірінші мүше екінші мүшеге қатысты болса, екінші мүше үшінші мүшеге қатысты болса. Бұл мүшелердің үлкені мен кішісі арасындағы аралық тең болады. Біз гармония деп атаған кері пропорционалды орташа – бұл орташа, егер бірінші мүше екінші мүшеден қандай да бір бөлігімен артық болса, үшінші мүше ортаңғы мүшені үшінші мүшеден де соғұрлы бөлікпен артық болса. Бұл пропорцияда үлкен мүшелер арасындағы аралық үлкен, ал кіші мүшелер арасындағы аралық кішірек болады. Ямблихтің айтуынша, "гармониялық орташа" атауын Архитас пен Гиппас ойлап тапқан. Пифагор орташалары Платонның "Тимей" еңбегінде де кездеседі. Олардың ерте қолданылуының тағы бір дәлелі Паппустың түсіндірмесі. мәтін= [ ] Театет ұзындығы бойынша өлшенетін және өлшенбейтін күштерді ажыратқан және Евдемус, Перипатетик айтқандай, жалпыға белгілі иррационалды сызықтарды әртүрлі орташаларға сәйкес бөліп, орта сызықтарды геометрияға, биномды арифметикаға, ал апотомды гармонияға жатқызған. "Орташа" (μεσότης, mesótēs) термині неопифагорлық арифметикалық оқулықтарда "пропорция" (ἀναλογία, analogía) терминімен байланысты қолданылады.
text= There are three means in music: one is arithmetic, second is the geometric, third is sub contrary, which they call harmonic. The mean is arithmetic when three terms are in proportion such that the excess by which the first exceeds the second is that by which the second exceeds the third. In this proportion it turns out that the interval of the greater terms is less, but that of the lesser terms greater. The mean is the geometric when they are such that as the first is to the second, so the second is to the third. Of these terms the greater and the lesser have the interval between them equal. Subcontrary, which we call harmonic, is the mean when they are such that, by whatever part of itself the first term exceeds the second, by that part of the third the middle term exceeds the third. It turns out that in this proportion the interval between the greater terms is greater and that between the lesser terms is less. The name "harmonic mean", according to Iamblichus, was coined by Archytas and Hippasus. The Pythagorean means also appear in Plato's Timaeus. Another evidence of their early use is a commentary by Pappus. text= It was [ ] Theaetetus who distinguished the powers which are commensurable in length from those which are incommensurable, and who divided the more generally known irrational lines according to the different means, assigning the medial lines to geometry, the binomial to arithmetic, and the apotome to harmony, as is stated by Eudemus, the Peripatetic. The term "mean" (μεσότης, mesótēs in Ancient Greek) appears in the Neopythagorean arithmetic handbooks in connection with the term "proportion" (ἀναλογία, analogía in Ancient Greek).