Введение
Классические средние, изучавшиеся в Древней Греции
В математике три классических пифагорейских средних — это арифметическое среднее (AM), геометрическое среднее (GM) и гармоническое среднее (HM). Эти средние изучались вместе с пропорциями пифагорейцами и последующими поколениями греческих математиков благодаря их значимости в геометрии и музыке.
История
Почти все, что мы знаем о пифагорейских средних, происходит из арифметических учебников, написанных в I и II веках. Никомах из Герасы утверждает, что они были "признаны всеми древними – Пифагором, Платоном и Аристотелем". Самое раннее известное упоминание о них содержится во фрагменте сочинения пифагорейского философа Архитаса из Тарента: текст= В музыке существуют три средства: арифметическое, геометрическое и субконтрарное, которое они называют гармоническим. Арифметическое среднее возникает, когда три члена находятся в пропорции, такой, что разница между первым и вторым равна разнице между вторым и третьим. В этой пропорции интервал между большими членами оказывается меньше, а между меньшими – больше. Геометрическое среднее возникает, когда отношение первого члена ко второму равно отношению второго к третьему. В этом случае больший и меньший члены имеют равный интервал между собой. Субконтрарное, которое мы называем гармоническим, является средним, когда первый член превышает второй на ту часть самого себя, на какую средний член превышает третий на часть третьего. В этой пропорции интервал между большими членами оказывается больше, а между меньшими – меньше. По словам Ямблиха, название "гармоническое среднее" было придумано Архитом и Гиппасом. Пифагорейские средние также встречаются в "Тимее" Платона. Еще одним свидетельством их раннего использования является комментарий Паппа. text= Именно Театет впервые разграничил величины, соизмеримые по длине, и несоизмеримые, а также разделил более известные иррациональные линии в соответствии с различными средними, отнеся срединные линии к геометрии, биномиальную – к арифметике, а апотому – к гармонии, как сообщает Эвдем, перипатетик. Термин "среднее" (μεσότης, mesótēs в древнегреческом языке) встречается в неопифагорейских арифметических учебниках в связи с термином "пропорция" (ἀναλογία, analogía в древнегреческом языке).
text= There are three means in music: one is arithmetic, second is the geometric, third is sub contrary, which they call harmonic. The mean is arithmetic when three terms are in proportion such that the excess by which the first exceeds the second is that by which the second exceeds the third. In this proportion it turns out that the interval of the greater terms is less, but that of the lesser terms greater. The mean is the geometric when they are such that as the first is to the second, so the second is to the third. Of these terms the greater and the lesser have the interval between them equal. Subcontrary, which we call harmonic, is the mean when they are such that, by whatever part of itself the first term exceeds the second, by that part of the third the middle term exceeds the third. It turns out that in this proportion the interval between the greater terms is greater and that between the lesser terms is less. The name "harmonic mean", according to Iamblichus, was coined by Archytas and Hippasus. The Pythagorean means also appear in Plato's Timaeus. Another evidence of their early use is a commentary by Pappus. text= It was [ ] Theaetetus who distinguished the powers which are commensurable in length from those which are incommensurable, and who divided the more generally known irrational lines according to the different means, assigning the medial lines to geometry, the binomial to arithmetic, and the apotome to harmony, as is stated by Eudemus, the Peripatetic. The term "mean" (μεσότης, mesótēs in Ancient Greek) appears in the Neopythagorean arithmetic handbooks in connection with the term "proportion" (ἀναλογία, analogía in Ancient Greek).