Кіріспе
Жинақтар теориясында Йонсон кардиналы (Бьярни Йонсонның есімімен аталады) – нақты бір үлкен кардинал сан. Егер кез келген функция үшін, реттік түрі бар болса, онда κ санаусыз кардинал саны Йонсон кардиналы деп аталады, мұнда - элементінің барлық ішкі жиындарына шектелгенде кем дегенде бір мәнді жібермейтін функция. Юджин М. Клейнберг теоремасы бойынша, ZFC + “Rowbottom кардиналы бар” және ZFC + “Йонсон кардиналы бар” теориялары эквивалентті дәйекті. Уильям Митчелл Додд Дженсеннің бастапқы моделін қолданып, Йонсон кардиналының бар екендігі Рамзи кардиналының бар екендігін білдіреді, сондықтан Йонсон кардиналының және Рамзи кардиналының бар болуы эквивалентті. Жалпы, Йонсон кардиналы әдеттегі мағынада үлкен кардинал болуы міндетті емес: олар жеке кардиналдар болуы мүмкін. Бірақ жеке Йонсон кардиналының бар екендігі өлшенетін кардиналдың бар екендігімен эквивалентті. Таңдау аксиомасын қолдана отырып, көптеген кіші кардиналдардың (мысалы, ) Йонсон емес екені дәлелдеуге болады. Алайда, мұндай нәтижелерге таңдау аксиомасы қажет: анықталу аксиомасы кез келген оң табиғи n саны үшін кардинал саны Йонсон екенін білдіреді. Йонсон алгебрасы – бірдей кардиналдылығы бар ешқандай бөлшектік алгебрасы жоқ алгебра. (Олар Йонсон-Тарски алгебраларымен байланысты емес). Бұл жерде алгебра – функциялық символдардың санаулы саны бар тілдің моделі, яғни жиынның өзінен жиынның шекті көбейтілімдеріне санаулы функциялар жиыны. Кардинал, егер және тек қана сол кардиналдылықтағы Йонсон алгебралары болмаса, Йонсон кардиналы болып табылады. Йонсон функцияларының бар екендігі алгебраларға шексіз операцияларға рұқсат етілген жағдайда Йонсон кардиналдарының аналогтарының жоқ екенін көрсетеді.
Every Rowbottom cardinal is Jónsson. By a theorem of Eugene M. Kleinberg, the theories ZFC + “there is a Rowbottom cardinal” and ZFC + “there is a Jónsson cardinal” are equiconsistent. William Mitchell proved, with the help of the Dodd Jensen core model that the consistency of the existence of a Jónsson cardinal implies the consistency of the existence of a Ramsey cardinal, so that the existence of Jónsson cardinals and the existence of Ramsey cardinals are equiconsistent. In general, Jónsson cardinals need not be large cardinals in the usual sense: they can be singular. But the existence of a singular Jónsson cardinal is equiconsistent to the existence of a measurable cardinal. Using the axiom of choice, a lot of small cardinals (the , for instance) can be proved to be not Jónsson. Results like this need the axiom of choice, however: The axiom of determinacy does imply that for every positive natural number n, the cardinal is Jónsson. A Jónsson algebra is an algebra with no proper subalgebras of the same cardinality. (They are unrelated to Jónsson–Tarski algebras). Here an algebra means
a model for a language with a countable number of function symbols, in other words a set with a countable number of functions from finite products of the set to itself. A cardinal is a Jónsson cardinal if and only if there are no Jónsson algebras of that cardinality. The existence of Jónsson functions shows that if algebras are allowed to have infinitary operations, then there are no analogues of Jónsson cardinals.