Введение

В теории множеств кардинал Йонсона (названный в честь Бьярни Йонсона) — это определённый вид большого кардинального числа. Неисчислимое кардинальное число κ называется кардиналом Йонсона, если для каждой функции существует множество порядкового типа ω₁, такое, что для каждого элементарного подмножества множества, ограничение этой функции на это подмножество опускает по крайней мере одно значение из κ. Каждый кардинал Роуботтама является кардиналом Йонсона. По теореме Юджина М. Клейнберга, теории ZFC + “существует кардинал Роуботтама” и ZFC + “существует кардинал Йонсона” равносогласованы. Уильям Митчелл доказал, с помощью основной модели Додда Дженсена, что согласованность существования кардинала Йонсона влечёт согласованность существования кардинала Рамзи, таким образом, существование кардиналов Йонсона и существование кардиналов Рамзи равносогласованы. В общем случае, кардиналы Йонсона не обязательно должны быть большими кардиналами в обычном смысле: они могут быть сингулярными. Но существование сингулярного кардинала Йонсона равносогласовано с существованием измеримого кардинала. Используя аксиому выбора, можно доказать, что множество малых кардиналов (например, ℵ₀) не являются кардиналами Йонсона. Однако для таких результатов требуется аксиома выбора: аксиома детерминированности подразумевает, что для каждого положительного натурального числа n кардинал ℵₙ является кардиналом Йонсона. Алгебра Йонсона — это алгебра, не имеющая собственных субальгебр той же кардинальности. (Они не связаны с алгебрами Йонсона — Тарского). Здесь под алгеброй понимается модель для языка с исчисляемым числом функциональных символов, иными словами, множество с исчисляемым числом функций от конечных произведений множества в само себя. Кардинал является кардиналом Йонсона тогда и только тогда, когда не существует алгебр Йонсона этой кардинальности. Существование функций Йонсона показывает, что если алгебрам разрешено иметь бесконечномерные операции, то не существует аналогов кардиналов Йонсона.