Музыкада тең темперамент жүйесі

Кіріспе

12 тең темперамент (12 ET) – октаваны 12 бөлікке бөлетін музыкалық жүйе, олардың барлығы логарифмдік шкала бойынша бірдей интервалмен (тең аралықта) түзетіледі, ал қатынасы 2-нің 12-ші түбіріне тең (≈ 1.05946). Нәтижесіндегі ең кішкентай интервал, октаваның 1/12 бөлігі, жарты тон немесе бір қадам деп аталады. Он екі тондық тең темперамент – бүгінгі музыкадағы ең көп тараған жүйе. Ол 18-ші ғасырдан бері батыс музыкасының басым күй жүйесі болып табылады, классикалық музыкадан бастап, ал Еуропа оның жуық шамаларын мыңжылдықтар бойы қолданып келген. Ол басқа мәдениеттерде де қолданылған. Қазіргі заманда 12 ET әдетте 440 Гц стандартты жиілікке қатысты реттеледі, бұл A440 деп аталады, яғни бір нота, A, 440 герцке дейін түзетіледі, ал қалған барлық ноталар одан жарты тонмен бірнеше есе жоғары немесе төмен жиілікте анықталады. Стандартты жиілік әрқашан 440 Гц болған жоқ. Ол соңғы бірнеше жүз жылда өзгеріп, көбінесе жоғарылаған.

Тарих

Он екі тондық тең темпераменттің дәл есептеуіне жеткен екі тұлға – Чжу Зайю (сондай-ақ Чу Цайю деп те жазылады. Қытай: 朱載堉) 1584 жылы және Саймон Стевин 1585 жылы. Теорияны сынаушы Фриц А. Каттнердің сөзіне сүйенсек, "Чу Цайю 1584 жылы тең темпераментті монохордтарды арифметикалық есептеудің өте дәл, қарапайым және тапқыр әдісін ұсынды", ал "Саймон Стевин 1585 жылы немесе одан кейін тең темпераменттің математикалық анықтамасын және сәйкес сандық мәндерді шамалы дәл емес есептеуді ұсынды". Бұл жетістіктер тәуелсіз түрде орын алды. Кеннет Робинсон тең темпераменттің ойлап табылуын Чжу Зайюға жатқызады және оны дәлелдеу үшін мәтіндік цитаталар келтіреді. Чжу Зайю 1584 жылға жатқан мәтінде былай деді: "Мен жаңа жүйені құрдым. Бір футты басқаларынан алуға болатын сан ретінде белгілеймін, ал пропорцияларды қолданып, оларды шығарамын. Барлығында он екі операцияда пиптердің (ысқыштардың) нақты сандарын табу қажет". Каттнер оған келіспейді және оның бұл мәлімдемесін "маңызды шектеулерсіз дұрыс деп санауға болмайды" деп атап көрсетеді. Каттнердің пікірінше, Жү Зайю да, Саймон Стевин де тең темпераментке жеткен жоқ, және екеуін де ойлап табушылар ретінде қарастыруға болмайды.

Ерте тарих

Цзэн маркизі И-дің (Қытай қола дәуіріндегі б.з.б. 5 ғасыр) қабірінен табылған көптеген музыкалық аспаптардың арасында қола қоңыраулардың толық жиынтығы C Major тоналығындағы 7 ноталық октаваның бес толық диапазонын қамтиды, сондай-ақ ортаңғы диапазонда 12 ноталық жартылай тон бар. Тең темпераментке жуық шамамен сипаттама берген 何承天 (Оңтүстік және Солтүстік династиялар), 370-447 жылдары өмір сүрген математик, тарихта тең темпераментке қатысты ең ерте тіркелген шамамен сандық тізбекті ұсынды: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450.

Ерте тарих

Тең темперамент туралы ең алғашқы талқылаулардың бірі б.з.д. IV ғасырда Аристоксеннің еңбектерінде кездеседі. Винченцо Галилей (Галилео Галилейдің әкесі) он екі тонды тең темпераменттің алғашқы қолдаушыларының бірі болды. Ол хроматикалық гамманың 12 нотасының әрқайсысы үшін «транспозициялық тондарда» би кестелерін жазды және 1584 жылы «Фронимо» атты еңбегінде 24+1 ричеркар жариялады. Лютняны құралдау үшін 18:17 қатынасын пайдаланды (бірақ таза октавалар үшін кейбір түзетулер қажет болды). Галилейдің отандасы және лютнист әріптесі Джакомо Горзанис 1567 жылға дейін тең темперамент негізінде музыка жазған. Горзанис барлық ладтарды немесе тондарды зерттеген жалғыз лютнист емес: Франческо Спиначино 1507 жылға дейін «Барлық тондардағы ричеркар» (Ricercar in all the Tones) атты шығарма жазған. Ал 17 ғасырдың соңғы тоқсанында жинақталған Броссардың қолжазбасында Бокеге жатқызылатын барлық тондарда жазылған 18 прелюдиялар сериясы бар, соның ішінде соңғы прелюдия, «Барлық тондардағы прелюдия» (Prélude sur tous les tons) деп аталатын шығарма, барлық тондар арқылы энармониялық түрде модуляцияланады. Анджело Микеле Бартолотти барлық тондардағы пассакалиялар сериясын жариялады, олар энармониялық модуляцияланған кезеңдермен байланыстырылған. 17 ғасырдың клавир композиторларының арасында Жироламо Фрескобальди тең темпераментті жақтады. Кейбір теоретиктер, мысалы Джузеппе Тартини, тең темпераментті қабылдауға қарсы болды; олар әрбір аккордтың тазалығын төмендету музыканың эстетикалық тартымдылығын төмендетеді деп санайтын, бірақ Андреас Веркмайстер 1707 жылы жарық көрген, өлімінен кейін жарияланған трактатында тең темпераментті ынталы түрде қолдады. Он екі тонды тең темпераменттің қалыптасуының бірнеше себебі болды. Бұл қолданыстағы клавир дизайнына ыңғайлы келді және әрбір интервалда, әсіресе толық емес консонанстарда, орташа ластанудың ауыртпалығымен толық гармониялық еркіндікке мүмкіндік берді. Бұл энармониялық модуляция арқылы көбірек өрнек беруге мүмкіндік берді, бұл 18 ғасырда Франческо Джеминиани, Вильгельм Фридман Бах, Карл Филипп Эммануэль Бах және Иоганн Готфрид Мютель сияқты композиторлардың музыкасында өте маңызды болды. Он екі тонды тең темпераменттің кейбір кемшіліктері болды, мысалы, толық емес треті, бірақ Еуропа тең темпераментке ауысқанда, ол жүйеге сәйкес келу үшін және диссонансты азайту үшін жазған музыкасын өзгертті. 18 ғасырдың ортасынан бері тең темпераменттің дамуы қазіргі заманғы көптеген ғылыми басылымдарда егжей-тегжейлі сипатталған: ол классикалық дәуірде (18 ғасырдың екінші жартысы) таңдалған темперамент болды және ол ерте романтикалық дәуірде (19 ғасырдың бірінші онжылдығы) стандартқа айналды, бірақ органдар, олар бірте-бірте ауысып, 19 ғасырдың екінші онжылдығында ғана аяқтады. (Англияда кейбір кафедралық органшылар мен хормейстерлер тіпті содан кейін де оған қарсы тұрды; мысалы, Сэмюэл Себастьян Уэсли оған әрқашан қарсы болды. Ол 1876 жылы қайтыс болды.) 17 ғасырдың Саббатини әдісін қолдану арқылы дәл тең темпераментті табуға болады. Бұл туралы классикалық дәуірдегі бірнеше авторлар да айтқан. Биттік қадамдарсыз, бірақ бірнеше тексерулерді қолдана отырып, қазіргі заманғы дәлдікке қол жеткізу 19 ғасырдың алғашқы онжылдықтарында жасалды. 1749 жылы алғаш рет ұсынылған биттік қадамдарды қолдану Гельмгольц пен Эллис тарапынан 19 ғасырдың екінші жартысында тарағаннан кейін кең таралды. Ең жоғары дәлдік 1917 жылы Уайт жариялаған 2 ондық кестелермен қол жетімді болды. Тең темперамент ортасында симметриялық тоналдылық және политоналдылықтың жаңа стильдері, он екі тондық техникамен немесе сериализммен жазылған атональды музыка және джаз (кем дегенде оның фортепиано бөлігі) дамыды және өркендеді.

One of the earliest discussions of equal temperament occurs in the writing of Aristoxenus in the 4th century BC. Vincenzo Galilei (father of Galileo Galilei) was one of the first practical advocates of twelve tone equal temperament. He composed a set of dance suites on each of the 12 notes of the chromatic scale in all the "transposition keys", and published also, in his 1584 "Fronimo", 24 + 1 ricercars. He used the 18:17 ratio for fretting the lute (although some adjustment was necessary for pure octaves). Galilei's countryman and fellow lutenist Giacomo Gorzanis had written music based on equal temperament by 1567. Gorzanis was not the only lutenist to explore all modes or keys: Francesco Spinacino wrote a italic=no (Ricercar in all the Tones) as early as 1507. and the Brossard lute manuscript compiled in the last quarter of the 17th century contains a series of 18 preludes attributed to Bocquet written in all keys, including the last prelude, entitled Prélude sur tous les tons, which enharmonically modulates through all keys. Angelo Michele Bartolotti published a series of passacaglias in all keys, with connecting enharmonically modulating passages. Among the 17th century keyboard composers Girolamo Frescobaldi advocated equal temperament. Some theorists, such as Giuseppe Tartini, were opposed to the adoption of equal temperament; they felt that degrading the purity of each chord degraded the aesthetic appeal of music, although Andreas Werckmeister emphatically advocated equal temperament in his 1707 treatise published posthumously. Twelve tone equal temperament took hold for a variety of reasons. It was a convenient fit for the existing keyboard design, and permitted total harmonic freedom with the burden of moderate impurity in every interval, particularly imperfect consonances. This allowed greater expression through enharmonic modulation, which became extremely important in the 18th century in music of such composers as Francesco Geminiani, Wilhelm Friedemann Bach, Carl Philipp Emmanuel Bach, and Johann Gottfried Müthel. Twelve tone equal temperament did have some disadvantages, such as imperfect thirds, but as Europe switched to equal temperament, it changed the music that it wrote in order to accommodate the system and minimize dissonance. The progress of equal temperament from the mid 18th century on is described with detail in quite a few modern scholarly publications: It was already the temperament of choice during the Classical era (second half of the 18th century), and it became standard during the Early Romantic era (first decade of the 19th century), except for organs that switched to it more gradually, completing only in the second decade of the 19th century. (In England, some cathedral organists and choirmasters held out against it even after that date; Samuel Sebastian Wesley, for instance, opposed it all along. He died in 1876.) A precise equal temperament is possible using the 17th century Sabbatini method of splitting the octave first into three tempered major thirds. This was also proposed by several writers during the Classical era. Tuning without beat rates but employing several checks, achieving virtually modern accuracy, was already done in the first decades of the 19th century. Using beat rates, first proposed in 1749, became common after their diffusion by Helmholtz and Ellis in the second half of the 19th century. The ultimate precision was available with 2 decimal tables published by White in 1917. It is in the environment of equal temperament that the new styles of symmetrical tonality and polytonality, atonal music such as that written with the twelve tone technique or serialism, and jazz (at least its piano component) developed and flourished.

Жарты тонның тарихи шамаларын салыстыру

Жыл Аты Қатынас Сент 400 Хе Чэньтиан 1.060070671 101.0 1580 Винченцо Галилей 18:17 [1.058823529] 99.0 1581 Чжу Зайю 1.059463094 100.0 1585 Саймон Стевин 1.059546514 100.1 1630 Марин Мерсен 1.059322034 99.8 1630 Иоганн Фолхабер 1.059490385 100.0

Математикалық қасиеттері

Он екі тонды тең темпераментте, октава 12 тең бөлікке бөлінеді, жарты тонның ені, яғни екі жақын ноталар арасындағы интервалдың жиілік қатынасы, екінің он екінші дәрежесінен алынған түбірге тең:

Бұл интервал 100 центке бөлінеді.

Тек аралықтары

12 тең темперамент аралықтары әділ интонациядағы кейбір аралықтарға жақын.

Шектілік бойынша

12 ET 3 лимитте өте дәл, бірақ біріншілік лимиттерді 11-ге дейін арттырғанда, әр рет сайын шамамен жарты тонның алтыдан бір бөлігіне дейін нашарлайды. Оның он бірінші және он үшінші гармоникалары өте дәл емес. 12 ET-тің он жетінші және он тоғызыншы гармоникалары оның үшінші гармоникасы сияқты шамалы дәл, бірақ осы кезде негізгі лимит көптеген адамдарға қоңырқай естілмейтіндей жоғары болып кетеді.

3 шекті

12 ET толық бесіншіні және оның инверсиясын, толық төртіншіні өте жақсы жуықтап көрсетеді, әсіресе октаваны салыстырмалы түрде аз дыбыстарға бөлу кезінде. Нақтырақ айтқанда, жақсы толық бесінші, тең темпераменттегі шамамен есептелгеннен жарты тонның елуден біріне дейін сәл өткір болады. Үлкен тон екі толық бесіншіден октаваны алып тастағанға тең болғандықтан, ал оның инверсиясы – пифагорлық кіші жетіншісі екі толық төртіншінің қосындысы болғандықтан, олар көбінесе бұрынғыларының дәлдігін сақтайды; қате екі есе артады, бірақ ол кішкентай болып қалады – тіпті адамдар оны сезе алмайды. Үштің үлкен дәрежелері бар бөлшектерді, мысалы және , пайдалануға болады, бірақ бөлшектердің мәні ұлғайған сайын, олар құлаққа жағымсыз болып келеді.

5 шекті

12 ЭТ-нің бесінші гармониясы шамамен жарты тонның жетіде біріне жуық қателікпен есептеледі. Интервалдардың шамадан төмен түсуі төрттен бір шкалалық қадамнан кем болса, олар әлі де дұрыс естіледі, сондықтан 12 ЭТ-дегі басқа бес лимит аралықтары, мысалы, және , сондай-ақ ұқсас өлшемдегі қателіктерге ие. Сондықтан, мажор үш дыбыстық қатар дұрыс естіледі, өйткені оның жиілік қатынасы шамамен 4:5:6-ға тең. Бұдан әрі, оның бірінші инверсиясымен және екі суб-октава тоникасымен біріктірілгенде, ол 1:2:3:4:5:6 құрайды – бұл бас дыбыстың ең төменгі алты табиғи гармоникасы.

7 шекті

12 ЭТ-нің жетінші гармонияға жуықтауы шамамен жарты тонның үштен біріне тең қателікпен жасалған. Қателік жарты тонның төрттен бірінен артық болғандықтан, 12 ЭТ-дегі жеті лимит аралықтары дұрыс емес естіледі. Тритон бөлшектерінде және , бесінші және жетінші гармониялардың қателіктері өзара ішінара өтеді, сондықтан табиғи бөлшектер тең темпераменттік эквиваленттерінен жарты тонның төрттен біріне дейін жақын болады, бірақ тритон көптеген адамдарға диссонансты естіледі.

11 және 13-ші шектер

Он бірінші гармониялық, 551,32 центке тең, 12 ET-дегі ең жақын екі тең темпераментті интервалдың арасындағы ортасына дерлік түседі, сондықтан екеуінің де жақындық шамасы болмайды. Шындығында, ол 12 ET-дегі тең темпераментті жақындықтан мүмкіндігінше алыс. Он үшінші гармониялық, кіші сегіздіктен жарты тонның екі бесігінен сәл өткір, сондай-ақ дәл емес. Бұл фракция және оның инверсиясы да дәл шамаланғанын (атап айтқанда, үш жарты тонмен) білдіргенімен, он бірінші және он үшінші гармониялықтардың қателіктері көбінесе өзара теңесетіндіктен, төртінші тон немесе микротоналдылықпен таныс емес көптеген адамдар он бірінші және он үшінші гармониялықтарды білмейді, сондықтан бұл фракциялар көпшілікке агармоничнос болып естіледі. Сол сияқты, он бірінші немесе он үшінші гармониялықтың қателігі жетінші гармониялықтың қателігімен толығымен өтелуі мүмкін, бірақ бұрынғы себептерге байланысты, көптеген батыс музыканттары нәтижедегі фракцияларды агармоничнос деп таба алмайды.

17 және 19 шектері

Он жетінші гармония 12 ET-де бір жарты тоннан шамамен 5 цент өткір. Оны 12 ET-нің үшінші гармонияға жуықтап келтіру арқылы, келесі Пелл жуықтамасы ретінде, тең темпераменттегі тритоннан (екінің квадрат түбірінен) шамамен үш цент қашықтықтағы және 12 ET-нің мажор жетілігінен бір цент қашықтықтағы мәнді алуға болады. Он тоғызыншы гармония 12 ET-нің үш жарты тонынан шамамен 2,5 цент төмен, сондықтан оны үшінші гармониямен біріктіру арқылы тең темпераменттегі минор алтыншыдан шамамен 4,5 цент төмендегі және жарты тоннан 6,5 цент төмендегі мәнді алуға болады. Алайда, 17 және 19 гармониялық қатынастар консонанттық қатынастар үшін тым үлкен болғандықтан және көптеген адамдар 17-ші және 19-шы шектегі интервалдармен таныс болмағандықтан, 17-ші және 19-шы шектегі интервалдар көптеген мақсаттар үшін пайдалы емес, сондықтан оларды 12 ET-нің кез келген консонанттарындағы рөлге бағалау мүмкін емес.

Кестені

Келесі кестеде әртүрлі таза интервалдардың мөлшері, олардың тең таңдалған әріптестерімен салыстырылады, қатынас түрінде де, центтер түрінде де көрсетілген. Көптеген адамдар 6 центтен аз айырмашылықты байқамайды, ал интервалдар 1/4 қадамнан (осы жағдайда 25 цент) артық болса, бұл дұрыс емес дыбыс береді. Нота саны C-ден жоғары қарай нақты мәні 12 ET-де 12 ETEтең таңдалған аудио Центтер Таза интервал аты Таза интервал бөлшегі Таза дыбысталған аудио Центтердегі таза интервал Айырмашылық 0 C 2 = 1 1 0 Унисон 1/1 = 1 0 0 1C немесе D2 = 1.05946 100 Септимальді үшінші тон 28/27 = 1.03703 62.96 37.04 Таза хроматикалық жарты тон 25/24 = 1.04166 70.67 29.33 Ундецимальді жарты тон 22/21 = 1.04761 80.54 19.46 Септимальді хроматикалық жарты тон 21/20 = 1.0584 47 15.53 Новендецимальді хроматикалық жарты тон 20/19 = 1.05263 88.80 11.20 Пифагорлық диатоникалық жарты тон 256/243 = 1.05349 90.22 9.78 Үлкен хроматикалық жарты тон 135/128 = 1.05468 92.18 7.82 Новендецимальді диатоникалық жарты тон 19/18 = 1.05555 93.60 6.40 Септадецимальді хроматикалық жарты тон 18/17 = 1.05882 98.95 1.05 Он жетінші гармоника 17/16 = 1.0625 104.96 +4.96 Таза диатоникалық жарты тон 16/15 = 1.06666 111.73 +11.73 Пифагорлық хроматикалық жарты тон 2187/2048 = 1.06787 113.69 +13.69 Септимальді диатоникалық жарты тон 15/14 = 1.07142 119.44 +19.44 Кіші тридецимальді 2/3 тон 14/13 = 1.07692 128.30 +28.30 Үлкен диатоникалық жарты тон 27/25 = 1.08133 24 +33.24 2D2 = 1.12246 200 Пифагорлық кіші үшінші 65536/59049 = 1.10985 180.45 19.55 Кіші тон 10/9 = 1.11111 182.40 17.60 Үлкен тон 9/8 = 1.125 203.91 +3.91 Септимальді бүтін тон 8/7 = 1.14285 231.17 +31.17 3D немесе E2 = 1.18920 300 Септимальді кіші үшінші 7/6 = 1.16666 266.87 33.13 Тридецимальді кіші үшінші 13/11 = 1.18181 289.21 10.79 Пифагорлық кіші үшінші 32/27 = 1.18518 294.13 5.87 Он тоғызыншы гармоника 19/16 = 1.1875 297.51 2.49 Таза кіші үшінші 6/5 = 1.2 315.64 +15.64 Пифагорлық үлкен екінші 19683/16384 = 1.20135 317.60 +17.60 4 E 2 = 1.25992 400 Пифагорлық кіші төртінші 8192/6561 = 1.24859 384.36 15.64 Таза үлкен үшінші 5/4 = 1.25 386.31 13.69 Пифагорлық үлкен үшінші 81/64 = 1.265625 407.82 +7.82 Ундецимальді үлкен үшінші 14/11 = 1.27272 417.51 +17.51 Септимальді үлкен үшінші 9/7 = 1.28571 435.08 +35.08 5 F 2 = 1.33484 500 Таза толық төртінші 4/3 = 1.33333 498.04 1.96 Пифагорлық үлкен үшінші 177147/131072 = 1.35152 521.51 +21.51 6 F немесе G 2 = 1.41421 600 Классикалық үлкен төртінші 25/18 = 1.38888 568.72 31.28 Гюйгенстің тритоны 7/5 = 1.4 582.51 17.49 Пифагорлық кіші бесінші 1024/729 = 1.40466 588.27 11.73 Таза үлкен төртінші 45/32 = 1.40625 590.22 9.78 Таза кіші бесінші 64/45 = 1.42222 609.78 +9.78 Пифагорлық үлкен төртінші 729/512 = 1.42382 611.73 +11.73 Эйлердің тритоны 10/7 = 1.42857 617.49 +17.49 Классикалық кіші бесінші 36/25 = 1.44631 631.28 +31.28 7 G2 = 1.49830 700 Пифагорлық кіші алтыншы 262144/177147 = 1.47981 678.49 21.51 Таза толық бесінші 3/2 = 1.5 701.96 +1.96 8 G немесе A2 = 1.58740 800 Септимальді кіші алтыншы 14/9 = 1.55555 764.92 35.08 Ундецимальді кіші алтыншы 11/7 = 1.57142 782.49 17.51 Пифагорлық кіші алтыншы 128/81 = 1.58024 792.18 7.82 Таза кіші алтыншы 8/5 = 1.6 813.69 +13.69 Пифагорлық үлкен бесінші 6561/4096 = 1.60180 815.64 +15.64 9 A 2 = 1.68179 900 Пифагорлық кіші жетінші 32768/19683 = 1.66478 882.40 17.60 Таза үлкен алтыншы 5/3 = 1.66666 884.36 15.64 Он тоғызыншы субгармоника 32/19 = 1.68421 902.49 +2.49 Пифагорлық үлкен алтыншы 27/16 = 1.6875 905.87 +5.87 Септимальді үлкен алтыншы 12/7 = 1.71428 933.13 +33.13 10 A немесе B2 = 1.78179 1000 Гармоникалық жетінші 7/4 = 1.75968 986.83 31.17 Пифагорлық кіші жетінші 16/9 = 1.77777 996.09 3.91 Үлкен кіші жетінші 9/5 = 1.81017 1017.60 +17.60 Пифагорлық үлкен алтыншы 59049/32768 = 1.80203 1019.55 +19.55 11 B 2 = 1.88774 1100 Тридецимальді бейтарап жетінші 13/7 = 1.85714 1071.70 28.30 Пифагорлық кіші октава 4096/2187 = 1.87288 1086.31 13.69 Таза үлкен жетінші 15/8 = 1.875 1088.27 11.73 Он жетінші субгармоника 32/17 = 1.88235 1095.04 4.96 Пифагорлық үлкен жетінші 243/128 = 1.89843 1109.78 +9.78 Септимальді үлкен жетінші 27/14 = 1.92857 1137.04 +37.04 12 C 2 = 2 2 1200 Октава 2/1 = 2 1200.00 0

In the following table the sizes of various just intervals are compared against their equal tempered counterparts, given as a ratio as well as cents. Differences of less than six cents cannot be noticed by most people, and intervals that are more than a quarter of a step; which in this case is 25 cents, off sound out of tune. Number of steps Note going up from C Exact value in 12 ET Decimal value in 12 ETEqually tempered audio Cents Just intonation interval name Just intonation interval fractionJustly intoned audio Cents in just intonation Difference 0 C 2 = 1 1 0 Unison 1/1 = 1 0 01C or D2 = 1.05946 100Septimal third tone28/27 = 1.03703 62.96 37.04Just chromatic semitone25/24 = 1.04166 70.67 29.33Undecimal semitone22/21 = 1.04761 80.54 19.46Septimal chromatic semitone21/20 = 1.0584.47 15.53Novendecimal chromatic semitone20/19 = 1.05263 88.80 11.20Pythagorean diatonic semitone256/243 = 1.05349 90.22 9.78Larger chromatic semitone135/128 = 1.05468 92.18 7.82Novendecimal diatonic semitone19/18 = 1.05555 93.60 6.40Septadecimal chromatic semitone18/17 = 1.05882 98.95 1.05Seventeenth harmonic17/16 = 1.0625 104.96 +4.96Just diatonic semitone16/15 = 1.06666 111.73 +11.73Pythagorean chromatic semitone2187/2048 = 1.06787 113.69 +13.69Septimal diatonic semitone15/14 = 1.07142 119.44 +19.44Lesser tridecimal 2/3 tone14/13 = 1.07692 128.30 +28.30Major diatonic semitone27/25 = 1.08133.24 +33.242D2 = 1.12246 200Pythagorean diminished third65536/59049 = 1.10985 180.45 19.55Minor tone10/9 = 1.11111 182.40 17.60Major tone9/8 = 1.125 203.91 +3.91Septimal whole tone8/7 = 1.14285 231.17 +31.173D or E2 = 1.18920 300Septimal minor third7/6 = 1.16666 266.87 33.13Tridecimal minor third13/11 = 1.18181 289.21 10.79Pythagorean minor third32/27 = 1.18518 294.13 5.87Nineteenth harmonic19/16 = 1.1875 297.51 2.49Just minor third6/5 = 1.2 315.64 +15.64Pythagorean augmented second19683/16384 = 1.20135 317.60 +17.60 4 E 2 = 1.25992 400Pythagorean diminished fourth8192/6561 = 1.24859 384.36 15.64Just major third5/4 = 1.25 386.31 13.69Pythagorean major third81/64 = 1.265625 407.82 +7.82Undecimal major third14/11 = 1.27272 417.51 +17.51Septimal major third9/7 = 1.28571 435.08 +35.08 5 F 2 = 1.33484 500Just perfect fourth4/3 = 1.33333 498.04 1.96Pythagorean augmented third177147/131072 = 1.35152 521.51 +21.51 6 F or G 2 = 1.41421 600Classic augmented fourth25/18 = 1.38888 568.72 31.28Huygens' tritone7/5 = 1.4 582.51 17.49Pythagorean diminished fifth1024/729 = 1.40466 588.27 11.73Just augmented fourth45/32 = 1.40625590.22 9.78Just diminished fifth64/45 = 1.42222 609.78 +9.78Pythagorean augmented fourth729/512 = 1.42382 611.73 +11.73Euler's tritone10/7 = 1.42857 617.49 +17.49Classic diminished fifth36/25 = 1.44631.28 +31.28 7 G2 = 1.49830 700Pythagorean diminished sixth262144/177147 = 1.47981 678.49 21.51Just perfect fifth3/2 = 1.5 701.96 +1.96 8 G or A2 = 1.58740 800Septimal minor sixth14/9 = 1.55555 764.92 35.08Undecimal minor sixth11/7 = 1.57142 782.49 17.51Pythagorean minor sixth128/81 = 1.58024 792.18 7.82Just minor sixth8/5 = 1.6 813.69 +13.69Pythagorean augmented fifth6561/4096 = 1.60180 815.64 +15.64 9 A 2 = 1.68179 900Pythagorean diminished seventh32768/19683 = 1.66478 882.40 17.60Just major sixth5/3 = 1.66666 884.36 15.64Nineteenth subharmonic32/19 = 1.68421 902.49 +2.49Pythagorean major sixth27/16 = 1.6875 905.87 +5.87Septimal major sixth12/7 = 1.71428 933.13 +33.13 10 A or B2 = 1.78179 1000Harmonic seventh7/4 = 1.75968.83 31.17Pythagorean minor seventh16/9 = 1.77777 996.09 3.91Large minor seventh9/5 = 1.81017.60 +17.60Pythagorean augmented sixth59049/32768 = 1.80203 1019.55 +19.55 11 B 2 = 1.88774 1100Tridecimal neutral seventh13/7 = 1.85714 1071.70 28.30Pythagorean diminished octave4096/2187 = 1.87288 1086.31 13.69Just major seventh15/8 = 1.875 1088.27 11.73Seventeenth subharmonic32/17 = 1.88235 1095.04 4.96Pythagorean major seventh243/128 = 1.89843 1109.78 +9.78Septimal major seventh27/14 = 1.92857 1137.04 +37.04 12 C 2 = 2 2 1200Octave2/1 = 2 1200.00 0

Ұқсас баптау жүйелері

Тарихи тұрғыдан алғанда, бірнеше рет ретке келтіру жүйелері қолданылған, оларды 12 TEDO-ның шағын өзгерістері деп қарастыруға болады – октавасына он екі нотадан, бірақ интервалдардың мөлшері әлдеқандай өзгерістерге ұшыраған, сондықтан ноталар толыққанды тең аралықта орналаспаған. Мысалы, үш лимит шкаласында 700 центтік тең темпераменттегі таза бесінші, 701,955 центтік дұрыс темпераменттегі таза бесіншімен алмастырылады. Екі интервалдың айырмашылығы 2 центтен кем, яғни октаваның 1/600 бөлігін құрайтындықтан, екі шкала да өте ұқсас. Шындығында, қытайлар Хэ Чэнтиан 12 TEDO тізбегін жасағанға дейін кем дегенде бір ғасыр бұрын 3 лимит таза интонациясын дамытқан. Сол сияқты, ежелгі гректермен дамыған пифагорлық реттеу, Ренессанс дәуіріне дейін Еуропада басым жүйе болып келді, осы кезде еуропалықтар 81/64 сияқты диссонансты интервалдарды 5/4 сияқты қарапайым қатынастарға келтіру арқылы консонантты етуге болатынын түсінді. Осының нәтижесінде, Еуропа интервалдардың мөлшерін сәл өзгертетін, бірақ 12 TEDO-ның жуық шамасы ретінде қарастырылатын меттондық темпераменттердің бірнеше түрлерін жасады. Меттондық темпераменттердің қателіктерді бір энгармониялық таза бесіншіде шоғырландыруға бейімділігі, оны өте диссонансты ететін болғандықтан, Андреас Веркмайстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти және Томас Янг сияқты еуропалық музыка теоретиктері ең нашар әсер еткен интервалдардың диссонансын азайту үшін үтірлерді бөлу мақсатымен әртүрлі жақсы темпераменттерді жасады. Веркмайстер мен Кирнбергердің әрқайсысы алғашқы темпераменттеріне қанағаттанбағандықтан, бірнеше темпераменттер жасады, соңғы темпераменттер бұрынғыларына қарағанда тең темпераментке жақын болды. Сонымен қатар, Еуропаның баршасы біртіндеп меттондық және жақсы темпераменттерден 12 TEDO жүйесіне көшті, ол әлі күнге дейін қолданылып келеді.

Кіші топтар

Кейбір музыка түрлері, мысалы, сериализм, 12 TEDO-ның барлық он екі нотасын пайдаланады, ал көптеген музыка түрлері тек 12 TEDO-ның белгілі бір жиынтығынан ноталарды қолданады, бұл жиынтық шкала деп аталады. Шкалалардың көптеген түрлері бар. 12 TEDO-да ең көп таралған шкала түрі – meantone. Meantone – бұл барлық ноталары бесіншілік шеңберінде тізбектелген кез келген шкала. Әртүрлі өлшемдегі meantone шкалалары бар, мысалы, бес ноталы meantone, жеті ноталы meantone және тоғыз ноталы meantone. Meantone батыстық аспаптардың құрылымында кездеседі. Мысалы, фортепианоның және оның алдыңғы нұсқаларының клавишалары ақ клавишалар жеті ноталы meantone шкаласын, ал қара клавишалар бес ноталы meantone шкаласын құрайтындай етіп жасалған. Тағы бір мысал, гитаралар және кем дегенде бес ішегі бар басқа да аспаптар әдетте ашық ішектері бес ноталы meantone шкаласын құрайтындай етіп қосылады. 12 TEDO-да қолданылатын басқа шкалаларға өрмелеуші мелодиялық минор шкаласы, гармониялық минор, гармониялық мажор, кемітілген шкала және in шкаласы жатады.