Равномерная темперация в музыке

Введение

Система равной темперации в музыке

Равная темперация (12 ET) – это музыкальная система, которая делит октаву на 12 равных частей, все из которых равноудалены друг от друга на логарифмической шкале, с отношением, равным двенадцатому корню из 2 (≈ 1,05946). Полученный в результате наименьший интервал, составляющий 1/12 ширины октавы, называется полутоном или полушагом. Двенадцатитоновая равная темперация – наиболее распространенная система в современной музыке. Она является преобладающей системой настройки западной музыки, начиная с классической музыки, с XVIII века, и Европа на протяжении тысячелетий до этого почти исключительно использовала её приближения. Она также применялась в других культурах. В настоящее время 12 ET обычно настраивается относительно стандартной частоты 440 Гц, называемой A440, что означает, что нота «ля» настроена на 440 герц, а все остальные ноты определяются как кратные полутонам от неё, либо выше, либо ниже по частоте. Стандартная частота звука не всегда составляла 440 Гц. Она менялась и в целом повышалась на протяжении последних нескольких столетий.

История

Двум ученым, которым часто приписывают точный расчет двенадцатитонового равного темперамента, – Чжу Цайю (также транскрибируется как Чу Цайю. Китайский: 朱載堉) в 1584 году и Симон Стевин в 1585 году. По мнению Фрица А. Каттнера, критика этой теории, известно, что "Чжу Цайю представил высокоточный, простой и изобретательный метод арифметического вычисления монохорд при равном темпераменте в 1584 году", а "Симон Стевин предложил математическое определение равного темперамента и несколько менее точный расчет соответствующих числовых значений в 1585 году или позднее". Эти разработки происходили независимо друг от друга. Кеннет Робинсон считает, что изобретение равного темперамента принадлежит Чжу Цайю, и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. Чжу Цайю, как записано в тексте 1584 года, говорил: "Я создал новую систему. Я принимаю один фут в качестве числа, от которого следует извлекать остальные, и, используя пропорции, я их вычисляю. В целом необходимо найти точные значения для настройки двенадцати инструментов". Каттнер с этим не согласен и отмечает, что это утверждение "нельзя считать верным без существенных оговорок". Каттнер полагает, что ни Чжу Цайю, ни Симон Стевин не достигли равного темперамента, и никого из них не следует считать изобретателем.

Ранняя история

Полный набор бронзовых колокольчиков, обнаруженный среди множества музыкальных инструментов в гробнице маркиза И Цзэн (ранний период Сражающихся царств, ок. V в. до н.э. в китайскую бронзовую эпоху), охватывает пять полных 7-нотных октав в тональности до мажор, включая 12 полутонов в середине диапазона. Приближение к равному темпераменту описал 何承天 (南朝), математик эпохи Южных и Северных династий, живший в 370–447 гг. н.э. Он предложил самую раннюю известную записанную приблизительную числовую последовательность, связанную с равным темпераментом: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450.

Ранняя история

Одно из самых ранних обсуждений равного темперамента встречается в трудах Аристоксена в IV веке до нашей эры. Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея) был одним из первых практических сторонников двенадцатитонового равного темперамента. Он сочинил набор танцевальных сюит на каждую из 12 нот хроматической шкалы во всех "тональностях транспозиции", а также опубликовал в своем "Фронимо" 1584 года 24 + 1 ricercare. Он использовал соотношение 18:17 для ладирования лютни (хотя для чистых октав требовалась некоторая корректировка). Соотечественник Галилея и коллега-лютнист Джакомо Горзанис написал музыку, основанную на равном темпераменте, к 1567 году. Горзанис был не единственным лютнистом, исследовавшим все лады или тональности: Франческо Спиначино написал (Ricercar in all the Tones) еще в 1507 году. Рукопись на лютне Броссара, составленная в последней четверти XVII века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке, написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию под названием Prélude sur tous les tons, которая энармонически модулирует через все тональности. Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях, соединенных энармонически модулирующими переходами. Среди композиторов-клавишников XVII века Джироламо Фрескобальди выступал за равный темперамент. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини, были против принятия равного темперамента; они считали, что ухудшение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмайстер решительно отстаивал равный темперамент в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. Двенадцатитоновый равный темперамент утвердился по ряду причин. Он удобно соответствовал существующей конструкции клавиатуры и обеспечивал полную гармоническую свободу с неизбежной умеренной неточностью в каждом интервале, особенно в несовершенных консонансах. Это позволило больше выразительности благодаря энармонической модуляции, которая стала чрезвычайно важной в XVIII веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани, Вильгельм Фридеман Бах, Карл Филипп Эммануэль Бах и Иоганн Готфрид Мютель. Двенадцатитоновый равный темперамент имел некоторые недостатки, такие как неточные терции, но по мере того, как Европа переходила на равный темперамент, она изменяла музыку, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. Прогресс равного темперамента с середины XVIII века подробно описан в многочисленных современных научных публикациях. Он уже был предпочтительным темпераментом в классическую эпоху (вторая половина XVIII века) и стал стандартом в раннюю романтическую эпоху (первое десятилетие XIX века), за исключением органов, которые переходили на него более постепенно, завершив этот переход только во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые органисты соборов и хормейстеры сопротивлялись этому даже после этой даты; например, Сэмюэл Себастьян Уэсли всегда был против этого. Он умер в 1876 году.) Точный равный темперамент возможен с использованием метода Сабатини XVII века, который разделяет октаву сначала на три темпераментных мажорных терции. Это также предлагалось несколькими авторами в классическую эпоху. Настройка без использования биений, но с применением нескольких проверок для достижения практически современной точности, уже осуществлялась в первые десятилетия XIX века. Использование биений, впервые предложенное в 1749 году, стало распространенным после их популяризации Гельмгольцем и Эллисом во второй половине XIX века. Максимальная точность была достигнута с помощью двухзначных таблиц, опубликованных Уайтом в 1917 году. Именно в условиях равного темперамента развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности, атональная музыка, такая как написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма, и джаз (по крайней мере, его фортепианный компонент).

One of the earliest discussions of equal temperament occurs in the writing of Aristoxenus in the 4th century BC. Vincenzo Galilei (father of Galileo Galilei) was one of the first practical advocates of twelve tone equal temperament. He composed a set of dance suites on each of the 12 notes of the chromatic scale in all the "transposition keys", and published also, in his 1584 "Fronimo", 24 + 1 ricercars. He used the 18:17 ratio for fretting the lute (although some adjustment was necessary for pure octaves). Galilei's countryman and fellow lutenist Giacomo Gorzanis had written music based on equal temperament by 1567. Gorzanis was not the only lutenist to explore all modes or keys: Francesco Spinacino wrote a italic=no (Ricercar in all the Tones) as early as 1507. and the Brossard lute manuscript compiled in the last quarter of the 17th century contains a series of 18 preludes attributed to Bocquet written in all keys, including the last prelude, entitled Prélude sur tous les tons, which enharmonically modulates through all keys. Angelo Michele Bartolotti published a series of passacaglias in all keys, with connecting enharmonically modulating passages. Among the 17th century keyboard composers Girolamo Frescobaldi advocated equal temperament. Some theorists, such as Giuseppe Tartini, were opposed to the adoption of equal temperament; they felt that degrading the purity of each chord degraded the aesthetic appeal of music, although Andreas Werckmeister emphatically advocated equal temperament in his 1707 treatise published posthumously. Twelve tone equal temperament took hold for a variety of reasons. It was a convenient fit for the existing keyboard design, and permitted total harmonic freedom with the burden of moderate impurity in every interval, particularly imperfect consonances. This allowed greater expression through enharmonic modulation, which became extremely important in the 18th century in music of such composers as Francesco Geminiani, Wilhelm Friedemann Bach, Carl Philipp Emmanuel Bach, and Johann Gottfried Müthel. Twelve tone equal temperament did have some disadvantages, such as imperfect thirds, but as Europe switched to equal temperament, it changed the music that it wrote in order to accommodate the system and minimize dissonance. The progress of equal temperament from the mid 18th century on is described with detail in quite a few modern scholarly publications: It was already the temperament of choice during the Classical era (second half of the 18th century), and it became standard during the Early Romantic era (first decade of the 19th century), except for organs that switched to it more gradually, completing only in the second decade of the 19th century. (In England, some cathedral organists and choirmasters held out against it even after that date; Samuel Sebastian Wesley, for instance, opposed it all along. He died in 1876.) A precise equal temperament is possible using the 17th century Sabbatini method of splitting the octave first into three tempered major thirds. This was also proposed by several writers during the Classical era. Tuning without beat rates but employing several checks, achieving virtually modern accuracy, was already done in the first decades of the 19th century. Using beat rates, first proposed in 1749, became common after their diffusion by Helmholtz and Ellis in the second half of the 19th century. The ultimate precision was available with 2 decimal tables published by White in 1917. It is in the environment of equal temperament that the new styles of symmetrical tonality and polytonality, atonal music such as that written with the twelve tone technique or serialism, and jazz (at least its piano component) developed and flourished.

Сравнение исторических приближений полутона

Год Имя Соотношение Центов 400 Хэ Чэнтянь 1.060070671 101.0 1580 Винченцо Галилей 18:17 [1.058823529] 99.0 1581 Чжу Цзайю 1.059463094 100.0 1585 Саймон Стевин 1.059546514 100.1 1630 Марен Мерсенн 1.059322034 99.8 1630 Иоганн Фаулхабер 1.059490385 100.0

Математические свойства

В двенадцатитоновой равной темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона, то есть частотное отношение интервала между двумя соседними нотами, равна двенадцатому корню из двух:

Этот интервал делится на 100 центов.

Только интервалы

Интервалы двенадцатитоновой равной темперации близко соответствуют некоторым интервалам в справедливой интонации.

По пределу

12-тоновый равный темперамент очень точен при пределе 3, но с увеличением пределов простых чисел до 11 его точность постепенно снижается примерно на шестую долю полутона с каждым шагом. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. Семнадцатая и девятнадцатая гармоники 12-тонового равного темперамента почти так же точны, как и третья, но к этому моменту предел простых чисел становится слишком высоким, чтобы восприниматься большинством людей как консонанс.

3 предельный

12-тоновая равная темперация дает очень хорошее приближение к идеальной квинте и ее инверсии, идеальной кварте, особенно при делении октавы на относительно небольшое количество тонов. В частности, чистая квинта лишь на одну пятьдесят первую долю полутона острее, чем ее равнотемперированный аналог. Поскольку большой тон – это просто две чистые квинты минус октава, а его инверсия, пифагорейская малая септима – это просто две чистые кварты, они в основном сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но остается незначительной – настолько, что человеческое ухо не способно ее различить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями тройки, следующие две – и , но по мере увеличения знаменателей дробей они становятся все менее благозвучными для слуха.

5 предел

12-тоновой равной темперации приближение пятой гармоники отличается примерно на одну седьмую полутона. Поскольку интервалы, отклоняющиеся менее чем на четверть тона, всё ещё воспринимаются как чистые, другие пятилимитные интервалы в 12-тоновой равной темперации, такие как [symbols from original text], имеют сопоставимые погрешности. Следовательно, мажорное трезвучие звучит стройно, поскольку его частотное соотношение приблизительно равно 4:5:6, а в сочетании с его первой инверсией и двумя суб-октавными тониками оно становится 1:2:3:4:5:6 – все шесть самых низких натуральных гармоник основного тона.

7 предел

Приближение седьмой гармоники в 12-тоновой системе темперирования (12 ET) составляет примерно треть полутона. Поскольку ошибка превышает четверть полутона, семилимитные интервалы в 12 ET обычно звучат расстроенными. В тритонных отношениях и , ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, в результате чего справедливые интервалы находятся в пределах четверти полутона от их эквивалентов в 12 ET, однако тритон по-прежнему звучит диссонансно для большинства слушателей.

11 и 13 пределы

Одиннадцатая гармоника, на уровне 551,32 центов, находится почти точно посередине между двумя ближайшими равнотемпературными интервалами в 12-тоновой системе и, следовательно, не может быть аппроксимирована ни одним из них. Фактически, она почти так же далека от любого равномерного приближения, как это только возможно в 12-тоновой системе. Тринадцатая гармоника, на две квинты полутона острее минорной сексты, также почти так же неточна. Хотя это означает, что дробь и её инверсия достаточно точно аппроксимируются (в частности, тремя полутонами), поскольку ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируют друг друга, большинство людей, незнакомых с четвертьтонами или микротональностью, не знакомы с этими гармониками, поэтому соответствующие интервалы не будут восприниматься большинством как консонирующие. Аналогично, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в значительной степени скомпенсирована ошибкой седьмой гармоники, по тем же причинам большинство западных музыкантов не сочтут полученные интервалы консонирующими.

17 и 19 пределы

Семнадцатая гармоника лишь примерно на 5 центов острее одного полутона в 12-тоновой системе равномерной темперации. Её можно комбинировать с приближением третьей гармоники в 12-тоновой системе, чтобы получить , которая, как следующее приближение Пелла после , находится всего в трёх центах от равномерно темпераментированного тритона (квадратного корня из двух), и , которая находится всего в одном центе от большой септимы в 12-тоновой системе. Девятнадцатая гармоника лишь примерно на 2,5 цента ниже трёх полутонов в 12-тоновой системе, поэтому её также можно комбинировать с третьей гармонией, чтобы получить , которая примерно на 4,5 цента ниже равномерно темпераментированной минорной сексты, и , которая примерно на 6,5 цента ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для консонирующих соотношений, и большинство людей не знакомы с интервалами 17-го и 19-го пределов, интервалы 17-го и 19-го пределов не полезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя считать участвующими в каких-либо консонансах 12-тоновой системы.

Таблица

В следующей таблице сравниваются размеры различных справедливых интервалов с их эквивалентами, полученными при равном темперировании, представленные в виде отношения и в центах. Различия менее шести центов незаметны для большинства людей, а интервалы, отклоняющиеся более чем на четверть тона (в данном случае 25 центов), звучат фальшиво. Номер шага Нота, повышающаяся от До Точное значение в 12 ET Десятичное значение в 12 ET Равномерно темперированный звук Центов Справедливый интервальный тон Дробь справедливого интервала Справедливо настроенный звук Центов в справедливой интонации Разница 0 До 2 = 1 1 0 Унисон 1/1 = 1 0 0 1До или Ре2 = 1.05946 100 Септимальная терция 28/27 = 1.03703 62.96 37.04 Справедливый хроматический полутон 25/24 = 1.04166 70.67 29.33 Ундецимальный полутон 22/21 = 1.04761 80.54 19.46 Септимальный хроматический полутон 21/20 = 1.0584 47 15.53 Новендецимальный хроматический полутон 20/19 = 1.05263 88.80 11.20 Пифагорейский диатонический полутон 256/243 = 1.05349 90.22 9.78 Большой хроматический полутон 135/128 = 1.05468 92.18 7.82 Новендецимальный диатонический полутон 19/18 = 1.05555 93.60 6.40 Септидецимальный хроматический полутон 18/17 = 1.05882 98.95 1.05 Сеventeenth harmonic 17/16 = 1.0625 104.96 +4.96 Справедливый диатонический полутон 16/15 = 1.06666 111.73 +11.73 Пифагорейский хроматический полутон 2187/2048 = 1.06787 113.69 +13.69 Септимальный диатонический полутон 15/14 = 1.07142 119.44 +19.44 Меньший тридецимальный 2/3 тон 14/13 = 1.07692 128.30 +28.30 Большая диатоническая полутон 27/25 = 1.08133 24 +33.24 2Ре2 = 1.12246 200 Пифагорейская уменьшенная терция 65536/59049 = 1.10985 180.45 19.55 Малый тон 10/9 = 1.11111 182.40 17.60 Большой тон 9/8 = 1.125 203.91 +3.91 Септимальный целый тон 8/7 = 1.14285 231.17 +31.17 3Ре или Ми2 = 1.18920 300 Септимальная малая терция 7/6 = 1.16666 266.87 33.13 Тридецимальная малая терция 13/11 = 1.18181 289.21 10.79 Пифагорейская малая терция 32/27 = 1.18518 294.13 5.87 Девятнадцатая гармоника 19/16 = 1.1875 297.51 2.49 Справедливая малая терция 6/5 = 1.2 315.64 +15.64 Пифагорейская увеличенная секунда 19683/16384 = 1.20135 317.60 +17.60 4Ми2 = 1.25992 400 Пифагорейская уменьшенная кварта 8192/6561 = 1.24859 384.36 15.64 Справедливая большая терция 5/4 = 1.25 386.31 13.69 Пифагорейская большая терция 81/64 = 1.265625 407.82 +7.82 Ундецимальная большая терция 14/11 = 1.27272 417.51 +17.51 Септимальная большая терция 9/7 = 1.28571 435.08 +35.08 5Фа2 = 1.33484 500 Справедливая совершенная кварта 4/3 = 1.33333 498.04 1.96 Пифагорейская увеличенная терция 177147/131072 = 1.35152 521.51 +21.51 6Фа или Соль2 = 1.41421 600 Классическая увеличенная кварта 25/18 = 1.38888 568.72 31.28 Гюйгенса тритон 7/5 = 1.4 582.51 17.49 Пифагорейская уменьшенная квинта 1024/729 = 1.40466 588.27 11.73 Справедливая увеличенная кварта 45/32 = 1.40625 590.22 9.78 Справедливая уменьшенная квинта 64/45 = 1.42222 609.78 +9.78 Пифагорейская увеличенная кварта 729/512 = 1.42382 611.73 +11.73 Тритон Эйлера 10/7 = 1.42857 617.49 +17.49 Классическая уменьшенная квинта 36/25 = 1.44631 631.28 +31.28 7Соль2 = 1.49830 700 Пифагорейская уменьшенная секста 262144/177147 = 1.47981 678.49 21.51 Справедливая совершенная квинта 3/2 = 1.5 701.96 +1.96 8Соль или Ля2 = 1.58740 800 Септимальная малая секста 14/9 = 1.55555 764.92 35.08 Ундецимальная малая секста 11/7 = 1.57142 782.49 17.51 Пифагорейская малая секста 128/81 = 1.58024 792.18 7.82 Справедливая малая секста 8/5 = 1.6 813.69 +13.69 Пифагорейская увеличенная квинта 6561/4096 = 1.60180 815.64 +15.64 9Ля2 = 1.68179 900 Пифагорейская уменьшенная септима 32768/19683 = 1.66478 882.40 17.60 Справедливая большая секста 5/3 = 1.66666 884.36 15.64 Девятнадцатая субгармоника 32/19 = 1.68421 902.49 +2.49 Пифагорейская большая секста 27/16 = 1.6875 905.87 +5.87 Септимальная большая секста 12/7 = 1.71428 933.13 +33.13 10Ля или Си2 = 1.78179 1000 Седьмая гармоника 7/4 = 1.75968 968.83 31.17 Пифагорейская малая септима 16/9 = 1.77777 996.09 3.91 Большая малая септима 9/5 = 1.81017 1017.60 +17.60 Пифагорейская увеличенная секста 59049/32768 = 1.80203 1019.55 +19.55 11Си2 = 1.88774 1100 Тридецимальная нейтральная септима 13/7 = 1.85714 1071.70 28.30 Пифагорейская уменьшенная октава 4096/2187 = 1.87288 1086.31 13.69 Справедливая большая септима 15/8 = 1.875 1088.27 11.73 Сеventeenth subharmonic 32/17 = 1.88235 1095.04 4.96 Пифагорейская большая септима 243/128 = 1.89843 1109.78 +9.78 Септимальная большая септима 27/14 = 1.92857 1137.04 +37.04 12До2 = 2 2 1200 Октава 2/1 = 2 1200.00 0

In the following table the sizes of various just intervals are compared against their equal tempered counterparts, given as a ratio as well as cents. Differences of less than six cents cannot be noticed by most people, and intervals that are more than a quarter of a step; which in this case is 25 cents, off sound out of tune. Number of steps Note going up from C Exact value in 12 ET Decimal value in 12 ETEqually tempered audio Cents Just intonation interval name Just intonation interval fractionJustly intoned audio Cents in just intonation Difference 0 C 2 = 1 1 0 Unison 1/1 = 1 0 01C or D2 = 1.05946 100Septimal third tone28/27 = 1.03703 62.96 37.04Just chromatic semitone25/24 = 1.04166 70.67 29.33Undecimal semitone22/21 = 1.04761 80.54 19.46Septimal chromatic semitone21/20 = 1.0584.47 15.53Novendecimal chromatic semitone20/19 = 1.05263 88.80 11.20Pythagorean diatonic semitone256/243 = 1.05349 90.22 9.78Larger chromatic semitone135/128 = 1.05468 92.18 7.82Novendecimal diatonic semitone19/18 = 1.05555 93.60 6.40Septadecimal chromatic semitone18/17 = 1.05882 98.95 1.05Seventeenth harmonic17/16 = 1.0625 104.96 +4.96Just diatonic semitone16/15 = 1.06666 111.73 +11.73Pythagorean chromatic semitone2187/2048 = 1.06787 113.69 +13.69Septimal diatonic semitone15/14 = 1.07142 119.44 +19.44Lesser tridecimal 2/3 tone14/13 = 1.07692 128.30 +28.30Major diatonic semitone27/25 = 1.08133.24 +33.242D2 = 1.12246 200Pythagorean diminished third65536/59049 = 1.10985 180.45 19.55Minor tone10/9 = 1.11111 182.40 17.60Major tone9/8 = 1.125 203.91 +3.91Septimal whole tone8/7 = 1.14285 231.17 +31.173D or E2 = 1.18920 300Septimal minor third7/6 = 1.16666 266.87 33.13Tridecimal minor third13/11 = 1.18181 289.21 10.79Pythagorean minor third32/27 = 1.18518 294.13 5.87Nineteenth harmonic19/16 = 1.1875 297.51 2.49Just minor third6/5 = 1.2 315.64 +15.64Pythagorean augmented second19683/16384 = 1.20135 317.60 +17.60 4 E 2 = 1.25992 400Pythagorean diminished fourth8192/6561 = 1.24859 384.36 15.64Just major third5/4 = 1.25 386.31 13.69Pythagorean major third81/64 = 1.265625 407.82 +7.82Undecimal major third14/11 = 1.27272 417.51 +17.51Septimal major third9/7 = 1.28571 435.08 +35.08 5 F 2 = 1.33484 500Just perfect fourth4/3 = 1.33333 498.04 1.96Pythagorean augmented third177147/131072 = 1.35152 521.51 +21.51 6 F or G 2 = 1.41421 600Classic augmented fourth25/18 = 1.38888 568.72 31.28Huygens' tritone7/5 = 1.4 582.51 17.49Pythagorean diminished fifth1024/729 = 1.40466 588.27 11.73Just augmented fourth45/32 = 1.40625590.22 9.78Just diminished fifth64/45 = 1.42222 609.78 +9.78Pythagorean augmented fourth729/512 = 1.42382 611.73 +11.73Euler's tritone10/7 = 1.42857 617.49 +17.49Classic diminished fifth36/25 = 1.44631.28 +31.28 7 G2 = 1.49830 700Pythagorean diminished sixth262144/177147 = 1.47981 678.49 21.51Just perfect fifth3/2 = 1.5 701.96 +1.96 8 G or A2 = 1.58740 800Septimal minor sixth14/9 = 1.55555 764.92 35.08Undecimal minor sixth11/7 = 1.57142 782.49 17.51Pythagorean minor sixth128/81 = 1.58024 792.18 7.82Just minor sixth8/5 = 1.6 813.69 +13.69Pythagorean augmented fifth6561/4096 = 1.60180 815.64 +15.64 9 A 2 = 1.68179 900Pythagorean diminished seventh32768/19683 = 1.66478 882.40 17.60Just major sixth5/3 = 1.66666 884.36 15.64Nineteenth subharmonic32/19 = 1.68421 902.49 +2.49Pythagorean major sixth27/16 = 1.6875 905.87 +5.87Septimal major sixth12/7 = 1.71428 933.13 +33.13 10 A or B2 = 1.78179 1000Harmonic seventh7/4 = 1.75968.83 31.17Pythagorean minor seventh16/9 = 1.77777 996.09 3.91Large minor seventh9/5 = 1.81017.60 +17.60Pythagorean augmented sixth59049/32768 = 1.80203 1019.55 +19.55 11 B 2 = 1.88774 1100Tridecimal neutral seventh13/7 = 1.85714 1071.70 28.30Pythagorean diminished octave4096/2187 = 1.87288 1086.31 13.69Just major seventh15/8 = 1.875 1088.27 11.73Seventeenth subharmonic32/17 = 1.88235 1095.04 4.96Pythagorean major seventh243/128 = 1.89843 1109.78 +9.78Septimal major seventh27/14 = 1.92857 1137.04 +37.04 12 C 2 = 2 2 1200Octave2/1 = 2 1200.00 0

Аналогичные системы настройки

Исторически использовалось множество систем настройки, которые можно рассматривать как незначительные вариации 12 TEDO, с двенадцатью нотами в октаве, но с некоторыми различиями в размерах интервалов, из-за чего ноты не совсем равноудалены друг от друга. Одним из примеров является трёхпредельная шкала, где равнотемперированные чистые квинты в 700 центов заменяются справедливо интонированными чистыми квинтами в 701,955 центов. Поскольку разница между этими двумя интервалами составляет менее 2 центов, или 1/600 октавы, эти две шкалы очень похожи. Фактически, китайцы разработали трёхпредельную справедливую интонацию как минимум за столетие до того, как Хэ Чэнтиан создал последовательность из 12 TEDO. Аналогично, пифагорейский строй, разработанный древними греками, был преобладающей системой в Европе вплоть до эпохи Возрождения, когда европейцы осознали, что диссонирующие интервалы, такие как 81/64, можно сделать более консонирующими, смягчая их до более простых соотношений, таких как 5/4, что привело к развитию в Европе серии темпераций типа "среднетональных", которые незначительно изменяли размеры интервалов, но всё ещё могли рассматриваться как приближение к 12 TEDO. Из-за тенденции среднетональных темпераций концентрировать ошибки на одной энгармонической чистой квинте, делая её очень диссонирующей, европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмайстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные хорошо темперированные строи с целью распределения комм, чтобы уменьшить диссонанс наиболее проблемных интервалов. Веркмайстер и Кирнбергер были недовольны своими первыми темперациями и поэтому создали несколько, причём более поздние темперации приближались к равному темпераменту больше, чем более ранние. Таким образом, Европа в целом постепенно перешла от среднетональных и хорошо темперированных строев к 12 TEDO – системе, которую она использует и сегодня.

Подгруппы

В то время как некоторые типы музыки, такие как сериализм, используют все двенадцать нот из 12 TEDO, большинство музыки использует только ноты из определенного подмножества из 12 TEDO, известного как гамма. Существует множество различных типов гамм. Самый популярный тип гаммы в 12 TEDO – meantone. Meantone (меантон) относится к любой гамме, в которой все ее ноты расположены последовательно по кругу квинт. Существуют meantone-гаммы разных размеров, и некоторые из используемых включают пятинотную meantone-гамму, семинотную meantone-гамму и девятинотную meantone-гамму. Meantone присутствует в конструкции западных инструментов. Например, клавиши фортепиано и его предшественников устроены таким образом, что белые клавиши образуют семинотную meantone-гамму, а черные клавиши – пятинотную meantone-гамму. Другой пример: гитары и другие струнные инструменты, имеющие по крайней мере пять струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют пятинотную meantone-гамму. Другие гаммы, используемые в 12 TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму, гармонический минор, гармонический мажор, уменьшенную гамму и in-гамму.